Determine o domínio de f, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de f, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de f.
f(x)=xraizx^2+1

Passo 1

Temos a função f(x)=xraizx^2+1. O objetivo é encontrar domínio, assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar limites e derivadas.

Passo 2

O denominador raizx^2+1 é sempre positivo para todo xinR, logo não há restrição em x. Portanto, o domínio é
(-infty,infty)

Passo 3

Não existem pontos onde o denominador zera, então não há assíntotas verticais. Para as horizontais, calculamos:
limxto+inftyxraizx^2+1=limxto+inftyx|x|raiz1+1/x^2=1,
limxto-inftyxraizx^2+1=limxto-inftyx|x|raiz1+1/x^2=-1
Assim, as assíntotas horizontais são y=1 e y=-1.

Passo 4

Para estudar crescimento e máximos/mínimos, calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x(x^2+1)^-1/2r) =(x^2+1)-x^2(x^2+1)^3/2 =1(x^2+1)^3/2
Como f'(x)>0 para todo x, a função é estritamente crescente em ( -infty,infty) e não possui máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Cálculo da segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=ddxl((x^2+1)^-3/2r) =-3x(x^2+1)^5/2
O sinal de f''(x) é positivo para x<0 (côncava para cima) e negativo para x>0 (côncava para baixo). Há mudança de concavidade em x=0, que é ponto de inflexão, com f(0)=0.

Passo 6

Resumindo o gráfico: a curva cresce de y=-1 para y=1 quando x vai de -infty a +infty, cruza a origem, tem concavidade para cima em ( -infty,0) e para baixo em (0,infty), aproximando-se das retas horizontais y=-1 e y=1.

Resposta

Domínio: ( -infty,infty). Sem assíntotas verticais. Assíntotas horizontais: y=-1 e y=1. Função estritamente crescente em R, sem extremos locais. Côncava para cima em ( -infty,0), côncava para baixo em (0,infty). Ponto de inflexão em (0,0).

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