Determine o domínio de
, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de
, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é encontrar domínio, assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar limites e derivadas.
Passo 2
O denominador
é sempre positivo para todo
, logo não há restrição em
. Portanto, o domínio é
Passo 3
Não existem pontos onde o denominador zera, então não há assíntotas verticais. Para as horizontais, calculamos:
Assim, as assíntotas horizontais são
e
.
Passo 4
Para estudar crescimento e máximos/mínimos, calculamos a derivada primeira:
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em
e não possui máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Cálculo da segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
O sinal de
é positivo para
(côncava para cima) e negativo para
(côncava para baixo). Há mudança de concavidade em
, que é ponto de inflexão, com
.
Passo 6
Resumindo o gráfico: a curva cresce de
para
quando
vai de
a
, cruza a origem, tem concavidade para cima em
e para baixo em
, aproximando-se das retas horizontais
e
.
Resposta
Domínio:
. Sem assíntotas verticais. Assíntotas horizontais:
e
. Função estritamente crescente em
, sem extremos locais. Côncava para cima em
, côncava para baixo em
. Ponto de inflexão em
.