Determine o domínio de
, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de
, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
A função dada é
. Vamos precisar estudar limites para assíntotas, derivada para monotonicidade e extrema, e segunda derivada para concavidade e inflexão.
Passo 2
Primeiro, o domínio é determinado verificando onde o denominador
é zero. Como
para todo
, o denominador nunca se anula. Logo, o domínio é
. Não há assíntotas verticais. Para horizontais, avaliamos limites em
:
Passo 3
Assim temos assíntotas horizontais em
e
.
Passo 4
Agora calculamos a primeira derivada usando quociente e cadeia:
Passo 5
Como
e
para todo
, temos
em
. Logo
é estritamente crescente em todo o domínio e não há máximos nem mínimos locais.
Passo 6
Para estudar concavidade, derivamos novamente:
Passo 7
Fazendo as contas chega-se a:
Passo 8
O sinal de
é dado por
:
- Se
, então e , ou seja, concavidade para cima. - Se
, então e , ou seja, concavidade para baixo.
Passo 9
Em
temos mudança de sinal de
, logo ponto de inflexão em
.
Passo 10
Por fim, o esboço do gráfico é a clássica curva logística: sobe de 0 até 1, cruza o ponto
, é côncava para cima antes de
e côncava para baixo depois, aproximando-se assintoticamente de
à esquerda e de
à direita.
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: e
.
Crescente em , sem máximos ou mínimos locais.
Concavidade para cima em e para baixo em
.
Ponto de inflexão em .
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais:
Crescente em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em