Determine o domínio de f, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de f, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de f.
f(x)=11+e^-x

Passo 1

A função dada é f(x)=11+e^-x. Vamos precisar estudar limites para assíntotas, derivada para monotonicidade e extrema, e segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Primeiro, o domínio é determinado verificando onde o denominador 1+e^-x é zero. Como e^-x>0 para todo x, o denominador nunca se anula. Logo, o domínio é R. Não há assíntotas verticais. Para horizontais, avaliamos limites em xtopminfty:
limxto+inftyf(x)=limxto+infty11+e^-x=1,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty11+e^-x=0

Passo 3

Assim temos assíntotas horizontais em y=1 e y=0.

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada usando quociente e cadeia:
f'(x)=0cdot(1+e^-x)-1cdot(-e^-x)(1+e^-x)^2=e^-x(1+e^-x)^2

Passo 5

Como e^-x>0 e (1+e^-x)^2>0 para todo x, temos f'(x)>0 em R. Logo f é estritamente crescente em todo o domínio e não há máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Para estudar concavidade, derivamos novamente:
f''(x)=l(e^-xr)'1(1+e^-x)^2+e^-xddxl((1+e^-x)^-2r)

Passo 7

Fazendo as contas chega-se a:
f''(x)=e^-x(e^-x-1)(1+e^-x)^3

Passo 8

O sinal de f''(x) é dado por e^-x-1:
  • Se x<0, então e^-x>1 e f''(x)>0, ou seja, concavidade para cima.
  • Se x>0, então e^-x<1 e f''(x)<0, ou seja, concavidade para baixo.

Passo 9

Em x=0 temos mudança de sinal de f'', logo ponto de inflexão em (0,f(0))=(0,1/2).

Passo 10

Por fim, o esboço do gráfico é a clássica curva logística: sobe de 0 até 1, cruza o ponto (0,1/2), é côncava para cima antes de x=0 e côncava para baixo depois, aproximando-se assintoticamente de y=0 à esquerda e de y=1 à direita.

Resposta

Domínio: R.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: y=0 e y=1.
Crescente em ( -infty, +infty), sem máximos ou mínimos locais.
Concavidade para cima em ( -infty, 0) e para baixo em (0, +infty).
Ponto de inflexão em (0,1/2).

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