Determine o domínio de f, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de f, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar completamente a função f(x)=ln(x²−4): encontrar domínio, assíntotas, onde é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de logaritmo (argumento positivo), derivada para monotonicidade e segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Precisamos que o argumento de ln seja positivo: x²−4>0. Resolvendo x²>4, temos x<−2 ou x>2. Logo, o domínio é (−∞,−2)∪(2,∞).

Passo 3

Assíntotas verticais ocorrem onde o argumento tende a zero: em x=−2 e x=2, f(x)→ln(0⁺)=−∞. Não há assíntotas horizontais porque para x→±∞ ln(x²−4)∼2
ln|x|→+∞.

Passo 4

A derivada é f′(x)=2x/(x²−4). O denominador é positivo no domínio, então o sinal de f′ vem de 2x: f′<0 se x<0 e f′>0 se x>0. Assim f é decrescente em (−∞,−2) e crescente em (2,∞).

Passo 5

Não há pontos em que f′=0 dentro do domínio (x=0 não pertence), portanto não há máximos nem mínimos locais.

Passo 6

A segunda derivada dá f′′(x)=−2(x²+4)/(x²−4)². Como x²+4>0 e o quadrado no denominador é positivo, f′′<0 em todo o domínio. Logo, f é sempre côncava para baixo e não tem ponto de inflexão.

Passo 7

O gráfico tem duas “ramas” desligadas: em (−∞,−2) cai de +∞ para −∞ conforme se aproxima de x=−2; em (2,∞) sobe de −∞ para +∞ conforme x→∞. Ambas são côncavas para baixo e têm assíntotas verticais em x=−2 e x=2.

Resposta

Domínio: (−∞,−2)∪(2,∞).
Assíntotas verticais: x=−2 e x=2. Sem assíntotas horizontais.
Crescente em (2,∞); decrescente em (−∞,−2).
Sem máximos ou mínimos locais.
Sempre côncava para baixo, sem pontos de inflexão.
Gráfico: duas ramificações desconectadas, ambas voltadas para −∞ perto de x=±2 e para +∞ em direção a ±∞, côncavas para baixo.

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