Calcule as integrais abaixo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^1/raiz22x,sin^-1(x^2),dx. Vamos usar conteúdo de integração por substituição para simplificar a expressão e depois integrar por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^2, temos du = 2x,dx. Quando x=0, u=0 e quando x=1/raiz2, u=1/2. A integral transforma-se em
integral0^1/raiz22x,sin^-1(x^2),dx=integral0^1/2sin^-1(u),du

Passo 3

Para calcular integralsin^-1(u),du, aplicamos integração por partes. Tomamos
A=sin^-1(u), dB=du,
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dA=1raiz1-u^2,du, B=u
Pelo fórmula de partes:
integralsin^-1(u),du=usin^-1(u)-integraluraiz1-u^2,du
Agora, na segunda integral, fazemos t=1-u^2 (então dt=-2u,du), obtendo
integraluraiz1-u^2,du=-raiz1-u^2
Assim,
integralsin^-1(u),du=usin^-1(u)+raiz1-u^2+C

Passo 4

Fazendo avaliação de u=0 até u=1/2:
Em u=1/2:
$$\frac12\sin{-1}\bigl(\tfrac12\bigr)+\sqrt{1-(1/2)2}=\frac12\cdot\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}.
12sin^-1l(tfrac12r)+raiz1-(1/2)^2=12cdotpi6+raiz32=pi12+raiz32 0\cdot\sin^{-1}(0)+\sqrt{1-0}=1.$$
Subtraindo, o valor da integral é
u=0

Resposta

pi12+raiz32-1

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