Determine o domínio e as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4 x+3}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e as assíntotas verticais e horizontais de
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+3}.
Para isso, vamos fatorar numerador e denominador, identificar onde o denominador zera (pontos de descontinuidade), ver se há cancelamentos e depois analisar o comportamento de f(x) próximo a esses pontos e quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Fatorando numerador e denominador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3), \qquad x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
O denominador só zera em x=1 e x=3, portanto o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{1,3\},
ou em notação intervalar,
(-\infty,1)\cup(1,3)\cup(3,\infty).

Passo 3

Vejamos as descontinuidades:
– Em x=3 ocorre cancelamento do fator (x-3), pois
f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)}=\frac{x+3}{x-1},\quad x\neq3.
Logo em x=3 há um ponto removível (buraco), não assíntota vertical.
– Em x=1 o denominador continua zero depois do cancelamento e o numerador não zera, então
\lim_{x\to1^-}f(x)=\pm\infty, \quad \lim_{x\to1^+}f(x)=\mp\infty.
Isso caracteriza uma assíntota vertical em x=1.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, analisamos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+3}.
Como os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes de x^2, ou seja,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
Portanto existe assíntota horizontal em y=1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1,3\}.
Assíntota vertical: x=1.
Assíntota horizontal: y=1.

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