No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\bigl(\ln(n)\bigr)^{n}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz, que nos permite verificar convergência a partir do comportamento da n-ésima raiz do termo geral.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{1}{\bigl(\ln(n)\bigr)^{n}}.
Para aplicar o teste da raiz, consideramos
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln(n))^{n}}} =\frac{1}{\ln(n)}.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
Como \ln(n)\to\infty quando n\to\infty, segue
L = 0.

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln(n))^{n}}
é convergente.

Resposta

A série converge.

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