Resolva a inequação \frac{x+2}{x-1}<0.

Passo 1

O problema pede para resolver a inequação racional \displaystyle \frac{x+2}{x-1}<0.
Aqui o conteúdo é análise de sinal de uma fração: vamos identificar onde o numerador ou o denominador se anulam, definir o conjunto-domínio e usar um “gráfico” de sinais para achar onde a expressão é negativa.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos em que o numerador ou o denominador valem zero:
– Numerador x+2=0 em x=-2.
– Denominador x-1=0 em x=1.
O domínio da expressão é todos os x\neq1, pois em x=1 a fração não está definida.

Passo 3

Agora dividimos a reta real em três intervalos usando -2 e 1 como fronteiras:
– Em x<-2: numerador x+2 é negativo e denominador x-1 também é negativo (pois x<1). Logo a fração é positiva.
– Em -2<x<1: numerador é positivo (pois x>-2) e denominador é negativo (pois x<1). Logo a fração é negativa.
– Em x>1: numerador e denominador são ambos positivos, então a fração é positiva.

Passo 4

Como queremos \frac{x+2}{x-1}<0, mantemos apenas o intervalo onde a fração é negativa, excluindo pontos em que ela vale zero ou não existe. Em x=-2 a fração vale zero, e em x=1 ela é indefinida, então não incluímos esses pontos.

Resposta

\displaystyle (-2,1)

Exercícios relacionados