Determine o domínio de cada função abaixo:
ll f(x, y)=raizx+y & f(x, y)=raizx y f(x, y)=ln (9-x^2-9 y^2) & f(x, y)=raizx^2-y^2 f(x, y)=raiz1-x^2-raiz1-y^2 & f(x, y)=raizy+raiz25-x^2-y^2 & f(x, y)=raizy-x^21-x^2 & f(x, y)=arcsen(x^2+y^2-2) & f(x, y, z)=raiz1-x^2-y^2-z^2 &

Passo 1

O enunciado pede o domínio de várias funções de duas ou três variáveis. Em geral, para cada função devemos impor:
  • Em radicais do tipo raizcdot, o conteúdo deve ser >=0.
  • Em ln(cdot), o argumento deve ser >0.
  • Em frações, o denominador não pode ser zero.
  • Em arcsen(cdot), o argumento deve pertencer ao intervalo [-1,1].

Passo 2

Aplicando a condição de radicand >=0 a
f(x,y)=raizx+y
e
f(x,y)=raizxy,
temos:
raizx+y exige
x+y>=0,
logo
D1=(x,y)in R^2mid x+y>=0
raizxy exige
xy>=0,
logo
D2=(x,y)in R^2mid xy>=0

Passo 3

Para
f(x,y)=lnl(9 - x^2 - 9y^2r),
exigimos
9 - x^2 - 9y^2>0 Long<=ftrightarrow x^2+9y^2<9
Portanto
D3=(x,y)in R^2mid x^2+9y^2<9

Passo 4

Para
f(x,y)=raizx^2 - y^2,
queremos
x^2 - y^2>=0 Long<=ftrightarrow x^2>= y^2
Logo
D4=(x,y)in R^2mid x^2>= y^2

Passo 5

Para
f(x,y)=raiz1-x^2-raiz1-y^2,
temos dois radicais que exigem
1-x^2>=0,1-y^2>=0 Long<=ftrightarrow -1<= x<=1,;-1<= y<=1
Então
D5=(x,y)in R^2mid -1<= x<=1,;-1<= y<=1

Passo 6

Para
f(x,y)=raizy+raiz25 - x^2 - y^2,
os radicais impõem
y>=0, 25 - x^2 - y^2>=0;Long<=ftrightarrow;x^2+y^2<=25
Assim
D6=(x,y)in R^2mid y>=0,;x^2+y^2<=25

Passo 7

Para
f(x,y)=raiz,y - x^2,1 - x^2,
exigimos simultaneamente
y - x^2>=0e1 - x^2neq0
Isto é,
y>= x^2, xneqpm1
Logo
D7=(x,y)in R^2mid y>= x^2,;xneqpm1

Passo 8

Para
f(x,y)=arcsenl(x^2+y^2-2r),
o argumento deve satisfazer
-1<= x^2+y^2-2<=1,
isto é
x^2+y^2>=1 e x^2+y^2<=3
Logo
D8=(x,y)in R^2mid 1<= x^2+y^2<=3

Passo 9

Finalmente, para
f(x,y,z)=raiz1 - x^2 - y^2 - z^2,
impondo o radicand >=0, temos
1 - x^2 - y^2 - z^2>=0 Long<=ftrightarrow x^2+y^2+z^2<=1
Assim
D9=(x,y,z)in R^3mid x^2+y^2+z^2<=1

Resposta

Para cada função acima, seus domínios são:
1. f(x,y)=raizx+y:
D1=(x,y)in R^2mid x+y>=0
2. f(x,y)=raizxy:
D2=(x,y)in R^2mid xy>=0
3. f(x,y)=lnl(9-x^2-9y^2r):
D3=(x,y)in R^2mid x^2+9y^2<9
4. f(x,y)=raizx^2-y^2:
D4=(x,y)in R^2mid x^2>= y^2
5. f(x,y)=raiz1-x^2-raiz1-y^2:
D5=(x,y)in R^2mid -1<= x<=1,;-1<= y<=1
6. f(x,y)=raizy+raiz25-x^2-y^2:
D6=(x,y)in R^2mid y>=0,;x^2+y^2<=25
7. f(x,y)=dfracraizy-x^21-x^2:
D7=(x,y)in R^2mid y>= x^2,;xneqpm1
8. f(x,y)=arcsenl(x^2+y^2-2r):
D8=(x,y)in R^2mid 1<= x^2+y^2<=3
9. f(x,y,z)=raiz1-x^2-y^2-z^2:
D9=(x,y,z)in R^3mid x^2+y^2+z^2<=1

Exercícios relacionados