(a) Calcule se existir lim x 0^- f(x), lim x 0^+ f(x) e lim x 1 f(x).
(b) f é descontínua em 0 ?
(c) f é diferenciável em 1 ? f é contínua em 1 ? f é contínua em 2? Por quê?
Passo 1
A função é dada por f(x)=x² para x<0, f(0)=1 e f(x)=1/x para x>0. O objetivo é achar os limites em 0⁻, 0⁺ e em 1, checar se f é descontínua em 0, se é diferenciável e contínua em 1 e se é contínua em 2. Vamos usar limites de funções polinomiais e racionais, definição de continuidade (lim f(x)=f(a)) e definição de derivada.
Passo 2
Para x<0 temos f(x)=x². Sabendo que polinômios são contínuos,
Passo 3
o limite lateral pela esquerda é
Passo 4
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0
Passo 5
Para x>0 temos f(x)=1/x. Sabendo que racionais são contínuos no domínio,
Passo 6
o limite pela direita é
Passo 7
limxto0^+f(x)=limxto0^+1x=+infty,
Passo 8
logo não existe limite finito em 0 pela direita.
Passo 9
Como 1>0, em torno de x=1 vale f(x)=1/x, que é contínua,
Passo 10
então
Passo 11
limxto1f(x)=limxto11x=1
Passo 12
Para testar continuidade em 0 precisamos que limxto0f(x) exista e seja igual a f(0)=1. Aqui os limites laterais nem se igualam (e ainda há divergência),
Passo 13
logo f é descontínua em 0.
Passo 14
Em x=1 f é dada por 1/x, que é derivável em 1. A derivada é f’(x)=-1/x²,
Passo 15
portanto
Passo 16
f'(1)=-1
Passo 17
Como existe derivada em 1, f é diferenciável lá e, por tabela, contínua em 1.
Passo 18
Para x=2>0 também usamos f(x)=1/x, que é contínua em 2 porque racionais são contínuos onde definidos.
Resposta
limxto0^-f(x)=0,;limxto0^+f(x)=+infty (não existe finito), limxto1f(x)=1 f é descontínua em 0. f é diferenciável em 1 (f'(1)=-1), logo contínua em 1. f é contínua em 2 pois 1/x é contínua para x>0.