Seja f: R R definida por
f(x)=llc x^2, & x<0 1, & x=0 1x, & 0
(a) Calcule se existir lim x 0^- f(x), lim x 0^+ f(x) e lim x 1 f(x).
(b) f é descontínua em 0 ?
(c) f é diferenciável em 1 ? f é contínua em 1 ? f é contínua em 2? Por quê?

Passo 1

A função é dada por f(x)=x² para x<0, f(0)=1 e f(x)=1/x para x>0. O objetivo é achar os limites em 0⁻, 0⁺ e em 1, checar se f é descontínua em 0, se é diferenciável e contínua em 1 e se é contínua em 2. Vamos usar limites de funções polinomiais e racionais, definição de continuidade (lim f(x)=f(a)) e definição de derivada.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=x². Sabendo que polinômios são contínuos,

Passo 3

o limite lateral pela esquerda é

Passo 4

limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0

Passo 5

Para x>0 temos f(x)=1/x. Sabendo que racionais são contínuos no domínio,

Passo 6

o limite pela direita é

Passo 7

limxto0^+f(x)=limxto0^+1x=+infty,

Passo 8

logo não existe limite finito em 0 pela direita.

Passo 9

Como 1>0, em torno de x=1 vale f(x)=1/x, que é contínua,

Passo 10

então

Passo 11

limxto1f(x)=limxto11x=1

Passo 12

Para testar continuidade em 0 precisamos que limxto0f(x) exista e seja igual a f(0)=1. Aqui os limites laterais nem se igualam (e ainda há divergência),

Passo 13

logo f é descontínua em 0.

Passo 14

Em x=1 f é dada por 1/x, que é derivável em 1. A derivada é f’(x)=-1/x²,

Passo 15

portanto

Passo 16

f'(1)=-1

Passo 17

Como existe derivada em 1, f é diferenciável lá e, por tabela, contínua em 1.

Passo 18

Para x=2>0 também usamos f(x)=1/x, que é contínua em 2 porque racionais são contínuos onde definidos.

Resposta

limxto0^-f(x)=0,;limxto0^+f(x)=+infty (não existe finito), limxto1f(x)=1 f é descontínua em 0. f é diferenciável em 1 ( f'(1)=-1), logo contínua em 1. f é contínua em 2 pois 1/x é contínua para x>0.

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