Calcule a derivada das funções e dê a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto (0, g(0)).
(b) g(x)=x^2-9x^4+1

Passo 1

A questão quer a derivada de g(x)= x^2-9x^4+1 e a reta tangente ao gráfico no ponto x=0. O conteúdo principal é a regra do quociente: se g(x)=u(x)v(x), então g'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.

Passo 2

Identificamos as funções que entram no quociente:
u(x)=x^2-9, v(x)=x^4+1
Derivando cada uma:
u'(x)=2x, v'(x)=4x^3

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) =u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 =2x(x^4+1)-(x^2-9),4x^3(x^4+1)^2
Podemos até expandir o numerador, mas não é necessário para o ponto x=0.

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
g(0)=0^2-90^4+1=-9, g'(0)=2cdot0,(0^4+1)-(-9),4cdot0^3(0^4+1)^2=0

Passo 5

A reta tangente em x=0 passa por (0,g(0))=(0,-9) e tem coeficiente angular g'(0)=0. Logo, sua equação é
y - (-9)=0,(x-0)
ou simplesmente
y=-9

Resposta

y=-9

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