Determine o domínio de cada função abaixo. Quais delas são contínuas?
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+10)-cos z1+x^4+y^4+z^4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+10r)-cos z1+x^4+y^4+z^4
e pede o domínio e onde ela é contínua. O conteúdo envolve análise de domínio para funções compostas (logaritmo e divisão) e continuidade de soma, produto e quociente.

Passo 2

Analisando a parte com logaritmo, temos a condição
x^2+y^2+10>0
Como x^2>=0, y^2>=0, a soma x^2+y^2+10>=10>0 para todo (x,y). Logo, não há restrição adicional vinda do logaritmo.

Passo 3

Analisando o denominador, requeremos
1+x^4+y^4+z^4neq 0
Mas x^4,y^4,z^4>=0 implicam 1+x^4+y^4+z^4>=1>0 sempre. Então o denominador nunca se anula.

Passo 4

Não havendo restrição nem no numerador nem no denominador, o domínio de f é todo o espaço
Dom(f)=R^3

Passo 5

Cada parte da função é contínua onde definida: ln é contínua para argumento positivo, cos z é contínuo em R, polinômios são contínuos em R e o quociente de funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não se anule. Como em nosso domínio o denominador nunca é zero, f é contínua em todo R^3.

Resposta

O domínio é R^3 e f é contínua em todo o seu domínio.

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