Lista 03 integrais imediatas
  1. integral t^2 d t(a+b t^2)^2=-13 b(a+b t^2)+c
  2. integral z(a+b z^3)^2 d z=a^2 z^22+2 a b z^55+b^2 z^88+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas:
  1. I1=integral t^2(a+b,t^2)^2,dt
  2. I2=integral z,(a+b,z^3)^2,dz
    Vamos usar, para I1, a decomposição em frações simples e fórmulas conhecidas de integração de 1/(a+bt^2) e 1/(a+bt^2)^2; e, para I2, expandir o quadrado e integrar termo a termo.

Passo 2

Cálculo de I1. Escrevemos
t^2(a+b,t^2)^2 =1b,b,t^2(a+b,t^2)^2 =1bl(a+b,t^2(a+b,t^2)^2-a(a+b,t^2)^2r) =1bl(1a+b,t^2-a(a+b,t^2)^2r)
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I1 =1bintegraldta+b,t^2 -abintegraldt(a+b,t^2)^2
Sabemos que
integraldta+b,t^2 =1raiza,b;arctan!l(traiztfracbar),
e que
integraldt(a+b,t^2)^2 =t2,a,(a+b,t^2) +12,a,1raiza,b;arctan!l(traiztfracbar)
Substituindo, obtemos
I1 =1b,1raiza,barctan!l(traiztfracbar) -abl[t2,a,(a+b,t^2) +12,a,1raiza,barctan!l(traiztfracbar)r]+C
Reorganizando,
I1 =12,bl(1raiza,barctan!l(traiztfracbar) -ta+b,t^2r)+C

Passo 3

Cálculo de I2. Expandimos
(a+b,z^3)^2 =a^2+2,a,b,z^3+b^2,z^6,
então
z,(a+b,z^3)^2 =a^2,z+2,a,b,z^4+b^2,z^7
Integramos termo a termo:
integral a^2,z,dz=a^2,z^22, integral 2,a,b,z^4,dz=2,a,b,z^55, integral b^2,z^7,dz=b^2,z^88
Logo
I2 =a^2,z^22 +2,a,b,z^55 +b^2,z^88+C

Resposta

integral t^2(a+b,t^2)^2,dt =12,bl(1raiza,barctan!l(traiztfracbar) -ta+b,t^2r)+C
integral z,(a+b,z^3)^2,dz =a^2,z^22 +2,a,b,z^55 +b^2,z^88+C

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