Determine o domínio de cada função e dê o valor (caso exista) que a função deveria assumir no ponto dado parar ser contínua.
g(x)=x^3-8x^2-4 em p=2

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função racional g(x)=x^3-8x^2-4 e descobrir que valor devemos atribuir em x=2 para que ela seja contínua. O conteúdo envolve funções racionais, domínio e continuidade por limite.

Passo 2

Para obter o domínio, observamos que a única restrição vem do denominador x^2-4. Precisamos que x^2-4neq0, ou seja, xneq2 e xneq-2. Assim o domínio é
(-infty,-2)cup(-2,2)cup(2,infty)

Passo 3

Para explorar a descontinuidade em x=2, fatoramos numerador e denominador:
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),
x^2-4=(x-2)(x+2)

Passo 4

Como xneq2 ainda vale
g(x)=x^3-8x^2-4=(x-2)(x^2+2x+4)(x-2)(x+2)=x^2+2x+4x+2

Passo 5

Para ver o limite em xto2 substituímos na expressão simplificada:
limxto2g(x)=limxto2x^2+2x+4x+2=2^2+2cdot2+42+2=4+4+44=3
Logo, para “fechar” o buraco em x=2 e garantir continuidade, devemos definir g(2)=3.

Resposta

Domínio: g; para que p=2 seja contínua em g(2)=3 devemos atribuir .

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