Dada a seguinte equação
. Podemos garantir que existe uma única solução com a condição inicial
?
Passo 1
A equação é uma EDO de primeira ordem dada por
com condição inicial
. O conteúdo envolvido é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de
e condição de Lipschitz local.
Passo 2
Para existir solução, basta que
seja contínua em torno de
. Como
é contínua em
, pelo teorema de Peano (que pede só continuidade) garantimos existência de pelo menos uma solução passando por
.
Passo 3
Para verificar unicidade, precisamos checar se
satisfaz condição de Lipschitz local em
. Calculando a derivada em relação a
:
vemos que
quando
, então
não é Lipschitz em qualquer vizinhança de
. Sem Lipschitz, o teorema de Picard–Lindelöf não garante unicidade.
Passo 4
De fato, existem várias soluções que satisfazem a EDO e
. Por exemplo, a solução trivial
e também a família
todas respeitam a mesma condição inicial e a equação diferencial. Portanto, não há unicidade.
Resposta
Não, não podemos garantir unicidade da solução para
, pois
não é Lipschitz em
.