Dada a seguinte equação d xd t=23 x^1 / 3. Podemos garantir que existe uma única solução com a condição inicial x(0)=0 ?

Passo 1

A equação é uma EDO de primeira ordem dada por dxdt=tfrac23x^1/3 com condição inicial x(0)=0. O conteúdo envolvido é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de f(x) e condição de Lipschitz local.

Passo 2

Para existir solução, basta que f(x)=tfrac23x^1/3 seja contínua em torno de x=0. Como x^1/3 é contínua em x=0, pelo teorema de Peano (que pede só continuidade) garantimos existência de pelo menos uma solução passando por x(0)=0.

Passo 3

Para verificar unicidade, precisamos checar se f(x) satisfaz condição de Lipschitz local em x=0. Calculando a derivada em relação a x:
f'(x)=29x^-2/3,
vemos que f'(x)toinfty quando xto0, então f(x) não é Lipschitz em qualquer vizinhança de x=0. Sem Lipschitz, o teorema de Picard–Lindelöf não garante unicidade.

Passo 4

De fato, existem várias soluções que satisfazem a EDO e x(0)=0. Por exemplo, a solução trivial x(t)=0 e também a família
x(t)= 0, & 0<= t<= T, l(tfrac49(t-T)r)^3/2, & t>T
todas respeitam a mesma condição inicial e a equação diferencial. Portanto, não há unicidade.

Resposta

Não, não podemos garantir unicidade da solução para x(0)=0, pois f(x)=tfrac23x^1/3 não é Lipschitz em x=0.

Exercícios relacionados