Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
e
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado: temos as funções
e
. Precisamos calcular as operações
e
, além de determinar o domínio de cada uma.
Passo 2
Para soma e diferença, note que o domínio de
é
, ou seja,
, e o domínio de
é todo
. Então a interseção é
. Assim,
-
, dom . -
, dom .
Passo 3
Para o produto, usamos o mesmo domínio de interseção:
-
, dom .
Passo 4
Para os quocientes, além de obedecerem aos domínios de
e
, devemos evitar divisão por zero:
-
. Aqui requer e , logo dom . -
. Além de , precisamos , ou seja , dando dom .
Passo 5
Para composições, vamos substituir:
-
. Aqui precisamos , então dom . -
. Basta , logo dom .
Passo 6
Finalmente, para o múltiplo escalar
,
-
, dom .
Resposta
(f+g)(x)=\sqrt{x+1}+x-2, dom(f+g)=[-1,\infty)
(f-g)(x)=\sqrt{x+1}-x+2, dom(f-g)=[-1,\infty)
(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+1}(x-2), dom(f\cdot g)=[-1,\infty)
(f/g)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}, dom(f/g)=[-1,2)\cup(2,\infty)
(g/f)(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+1}}, dom(g/f)=(-1,\infty)
(f\circ g)(x)=\sqrt{x-1}, dom(f\circ g)=[1,\infty)
(g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}-2, dom(g\circ f)=[-1,\infty)
(k f)(x)=k\sqrt{x+1}, dom(k f)=[-1,\infty)
(f-g)(x)=\sqrt{x+1}-x+2, dom(f-g)=[-1,\infty)
(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+1}(x-2), dom(f\cdot g)=[-1,\infty)
(f/g)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}, dom(f/g)=[-1,2)\cup(2,\infty)
(g/f)(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+1}}, dom(g/f)=(-1,\infty)
(f\circ g)(x)=\sqrt{x-1}, dom(f\circ g)=[1,\infty)
(g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}-2, dom(g\circ f)=[-1,\infty)
(k f)(x)=k\sqrt{x+1}, dom(k f)=[-1,\infty)