Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=raizx+1 e g(x)=x-2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: temos as funções f(x)=raizx+1 e g(x)=x-2. Precisamos calcular as operações f+g, f-g, fcdot g, f/g, g/f, fcirc g, gcirc f e k f, além de determinar o domínio de cada uma.

Passo 2

Para soma e diferença, note que o domínio de f é x+1>=0, ou seja, x>=-1, e o domínio de g é todo R. Então a interseção é [ -1,infty). Assim,
  • (f+g)(x)=raizx+1+(x-2), dom (f+g)=[-1,infty).
  • (f-g)(x)=raizx+1-(x-2)=raizx+1-x+2, dom (f-g)=[-1,infty).

Passo 3

Para o produto, usamos o mesmo domínio de interseção:
  • (fcdot g)(x)=raizx+1,(x-2), dom (fcdot g)=[-1,infty).

Passo 4

Para os quocientes, além de obedecerem aos domínios de f e g, devemos evitar divisão por zero:
  • (f/g)(x)=raizx+1x-2. Aqui requer x>=-1 e xneq2, logo dom (f/g)=[-1,2)cup(2,infty).
  • (g/f)(x)=x-2raizx+1. Além de x+1>=0, precisamos raizx+1neq0, ou seja x>-1, dando dom (g/f)=(-1,infty).

Passo 5

Para composições, vamos substituir:
  • (fcirc g)(x)=f(g(x))=raiz(x-2)+1=raizx-1. Aqui precisamos x-1>=0, então dom (fcirc g)=[1,infty).
  • (gcirc f)(x)=g(f(x))=(raizx+1)-2. Basta x+1>=0, logo dom (gcirc f)=[-1,infty).

Passo 6

Finalmente, para o múltiplo escalar k,
  • (k f)(x)=k,raizx+1, dom (k f)=[-1,infty).

Resposta

(f+g)(x)=\sqrt{x+1}+x-2, dom(f+g)=[-1,\infty)
(f-g)(x)=\sqrt{x+1}-x+2, dom(f-g)=[-1,\infty)
(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+1}(x-2), dom(f\cdot g)=[-1,\infty)
(f/g)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}, dom(f/g)=[-1,2)\cup(2,\infty)
(g/f)(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+1}}, dom(g/f)=(-1,\infty)
(f\circ g)(x)=\sqrt{x-1}, dom(f\circ g)=[1,\infty)
(g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}-2, dom(g\circ f)=[-1,\infty)
(k f)(x)=k\sqrt{x+1}, dom(k f)=[-1,\infty)

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