Determine os pontos de interseção das curvas e calcule a área da região finita entre elas. Faça um esboço dos gráficos, sombreie a região e determine as fronteiras inferior e superior da região.
e
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Passo 1
O enunciado pede para achar onde a parábola y=3−x^{2} e a reta y=x+1 se cruzam, esboçar os gráficos, determinar qual é a fronteira inferior e qual é a superior e calcular a área da região fechada entre elas. O conteúdo envolvido é aplicação de integrais definidas para área entre curvas.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões: 3−x^{2}=x+1. Reorganizando, temos x^{2}+x−2=0. Resolvendo:a fatoração (x+2)(x−1)=0 dá x=−2 e x=1. Substituindo em y=x+1, obtemos os pares de pontos de interseção: (−2,−1) e (1,2).
No esboço, a parábola y=3−x^{2} abre para baixo com vértice em (0,3) e a reta y=x+1 sobe com inclinação positiva. Entre x=−2 e x=1, a reta fica sempre abaixo da parábola (por exemplo, em x=0 a reta vale 1 e a parábola vale 3). Logo a fronteira inferior é y=x+1 e a superior é y=3−x^{2}, no intervalo x∈[−2,1].
No esboço, a parábola y=3−x^{2} abre para baixo com vértice em (0,3) e a reta y=x+1 sobe com inclinação positiva. Entre x=−2 e x=1, a reta fica sempre abaixo da parábola (por exemplo, em x=0 a reta vale 1 e a parábola vale 3). Logo a fronteira inferior é y=x+1 e a superior é y=3−x^{2}, no intervalo x∈[−2,1].
Passo 3
A área da região é dada pela integral definida da diferença entre as funções superior e inferior: ∬_{R}dA=∫_{x=−2}{1}[(3−x{2})−(x+1)]dx. Simplificando o integrando: (3−x{2}−x−1)=2−x−x{2}.
Calculamos a integral:
Calculamos a integral:
Passo 4
Avaliação em x=1: 2(1) - 1/2 - 1/3 = 2 - 1/2 - 1/3 = \frac{12 - 3 - 2}{6}=\frac{7}{6}.
Avaliação em x=−2: 2(−2) - (4)/2 - (−8)/3 = −4 - 2 + 8/3 = −6 + 8/3 = −\frac{10}{3}.
Subtraindo: Portanto, essa é a área procurada.
Avaliação em x=−2: 2(−2) - (4)/2 - (−8)/3 = −4 - 2 + 8/3 = −6 + 8/3 = −\frac{10}{3}.
Subtraindo:
Resposta
A área da região finita entre as curvas é
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