Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.5)
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(14.5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de comprimento de arco para uma curva dada em coordenadas polares. A equação da curva é $ r = \cos \theta + \sin \theta $ e queremos encontrar o comprimento do arco dessa curva quando $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ em coordenadas polares. Ela é dada por:
Aqui, $ r $ é a função que define a curva em termos de $ \theta $, e $ a $ e $ b $ são os limites de $ \theta $ que no nosso caso vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Vamos identificar as partes que precisamos para aplicar a fórmula. Nossa função é $ r = \cos \theta + \sin \theta $. Primeiro, precisamos calcular a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $, ou seja, $ \frac{dr}{d\theta} $.
Passo 4
Agora que temos $ \frac{dr}{d\theta} $, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 5
Vamos expandir os quadrados:
Somando essas duas expressões:
Passo 6
Agora, a expressão para $ L $ fica:
Podemos fatorar o 2:
Sabemos que $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, então:
Passo 7
Agora, a integral fica bem mais simples:
Resposta
O comprimento do arco da curva $ r = \cos \theta + \sin \theta $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ é $ \frac{\pi \sqrt{2}}{2} $.