Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.5) r=(cos theta+sen theta), 0 <= theta <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de comprimento de arco para uma curva dada em coordenadas polares. A equação da curva é $ r = \cos \theta + \sin \theta $ e queremos encontrar o comprimento do arco dessa curva quando $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ em coordenadas polares. Ela é dada por:
L
Aqui, $ r $ é a função que define a curva em termos de $ \theta $, e $ a $ e $ b $ são os limites de $ \theta $ que no nosso caso vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Vamos identificar as partes que precisamos para aplicar a fórmula. Nossa função é $ r = \cos \theta + \sin \theta $. Primeiro, precisamos calcular a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $, ou seja, $ \frac{dr}{d\theta} $.
r = cos theta + sin theta

Passo 4

Agora que temos $ \frac{dr}{d\theta} $, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
drdtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 5

Vamos expandir os quadrados:
(-sin theta + cos theta)^2 = sin^2 theta - 2 sin theta cos theta + cos^2 theta
(cos theta + sin theta)^2 = cos^2 theta + 2 sin theta cos theta + sin^2 theta
Somando essas duas expressões:
sin^2 theta - 2 sin theta cos theta + cos^2 theta + cos^2 theta + 2 sin theta cos theta + sin^2 theta = 2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta

Passo 6

Agora, a expressão para $ L $ fica:
L
Podemos fatorar o 2:
L = integral0^pi2 raiz 2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta , dtheta
Sabemos que $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, então:
L = integral0^pi2 raiz 2 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta

Passo 7

Agora, a integral fica bem mais simples:
L = raiz2 integral0^pi2 dtheta = raiz2 [ theta ]0^pi2 = raiz2 ( pi2 - 0 ) = pi raiz22

Resposta

O comprimento do arco da curva $ r = \cos \theta + \sin \theta $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ é $ \frac{\pi \sqrt{2}}{2} $.

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