Determine o domínio de cada uma das seguintes funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o domínio da função $ f(x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 2x}{x - 1}} $. Isso significa encontrar todos os valores de $ x $ que deixam a função bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de raiz quadrada e frações, além de saber como resolver desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz quadrada: $ \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} $. Para a função ser válida, essa expressão deve ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo. Então, a gente tem que resolver a desigualdade:
Além disso, o denominador $ x - 1 $ não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, já sabemos que $ x \neq 1 $.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da desigualdade. O numerador $ x^{2} - 2x $ pode ser fatorado:
Assim, a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ que fazem o numerador ou o denominador zero:
- $ x = 0 $ (fator $ x $)
- $ x = 2 $ (fator $ x - 2 $)
- $ x = 1 $ (fator $ x - 1 $) → Lembrando que $ x \neq 1 $
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos analisar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou negativa.
Passo 5
Os intervalos são:
- $ x < 0 $
- $ 0 < x < 1 $
- $ 1 < x < 2 $
- $ x > 2 $
Vamos verificar o sinal da expressão $ \frac{x(x - 2)}{x - 1} $ em cada intervalo.
Passo 6
-
Para $ x < 0 $:
- $ x $ é negativo.
- $ x - 2 $ é negativo.
- $ x - 1 $ é negativo.
Então: $ \frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{+}{-} = - $ → Negativo -
Para $ 0 < x < 1 $:
- $ x $ é positivo.
- $ x - 2 $ é negativo.
- $ x - 1 $ é negativo.
Então: $ \frac{(+)(-)}{(-)} = \frac{-}{-} = + $ → Positivo -
Para $ 1 < x < 2 $:
- $ x $ é positivo.
- $ x - 2 $ é negativo.
- $ x - 1 $ é positivo.
Então: $ \frac{(+)(-)}{(+)} = \frac{-}{+} = - $ → Negativo -
Para $ x > 2 $:
- $ x $ é positivo.
- $ x - 2 $ é positivo.
- $ x - 1 $ é positivo.
Então: $ \frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{+}{+} = + $ → Positivo
Passo 7
Agora, juntando tudo:
- A expressão é positiva nos intervalos $ 0 < x < 1 $ e $ x > 2 $.
- Nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $, a expressão é igual a zero, o que também é válido para a raiz quadrada.
- $ x = 1 $ está excluído.
Resposta
O domínio da função é: