Determine o domínio de cada uma das seguintes funçōes:
f(x)=raizx^2-2 xx-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o domínio da função $ f(x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 2x}{x - 1}} $. Isso significa encontrar todos os valores de $ x $ que deixam a função bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de raiz quadrada e frações, além de saber como resolver desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz quadrada: $ \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} $. Para a função ser válida, essa expressão deve ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo. Então, a gente tem que resolver a desigualdade:
x^2 - 2xx - 1
Além disso, o denominador $ x - 1 $ não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, já sabemos que $ x \neq 1 $.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da desigualdade. O numerador $ x^{2} - 2x $ pode ser fatorado:
x^2 - 2x
Assim, a desigualdade fica:
x^2 - 2x = x(x - 2)

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ que fazem o numerador ou o denominador zero:
  • $ x = 0 $ (fator $ x $)
  • $ x = 2 $ (fator $ x - 2 $)
  • $ x = 1 $ (fator $ x - 1 $) → Lembrando que $ x \neq 1 $
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos analisar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou negativa.

Passo 5

Os intervalos são:
  1. $ x < 0 $
  2. $ 0 < x < 1 $
  3. $ 1 < x < 2 $
  4. $ x > 2 $
Vamos verificar o sinal da expressão $ \frac{x(x - 2)}{x - 1} $ em cada intervalo.

Passo 6

  1. Para $ x < 0 $:
    • $ x $ é negativo.
    • $ x - 2 $ é negativo.
    • $ x - 1 $ é negativo.
    Então: $ \frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{+}{-} = - $ → Negativo
  2. Para $ 0 < x < 1 $:
    • $ x $ é positivo.
    • $ x - 2 $ é negativo.
    • $ x - 1 $ é negativo.
    Então: $ \frac{(+)(-)}{(-)} = \frac{-}{-} = + $ → Positivo
  3. Para $ 1 < x < 2 $:
    • $ x $ é positivo.
    • $ x - 2 $ é negativo.
    • $ x - 1 $ é positivo.
    Então: $ \frac{(+)(-)}{(+)} = \frac{-}{+} = - $ → Negativo
  4. Para $ x > 2 $:
    • $ x $ é positivo.
    • $ x - 2 $ é positivo.
    • $ x - 1 $ é positivo.
    Então: $ \frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{+}{+} = + $ → Positivo

Passo 7

Agora, juntando tudo:
  • A expressão é positiva nos intervalos $ 0 < x < 1 $ e $ x > 2 $.
  • Nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $, a expressão é igual a zero, o que também é válido para a raiz quadrada.
  • $ x = 1 $ está excluído.

Resposta

O domínio da função é:
x in [0, 1) cup [2, +infty)

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