Determine o domínio de cada uma das seguintes funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x - 8} $. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de $ x $ que a função aceita sem causar problemas, tipo dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. Aqui, como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos precisar resolver a desigualdade $ x^{2} - 2x - 8 \geq 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 2x - 8 = 0 $ para achar os pontos críticos onde a expressão dentro da raiz muda de sinal. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -8
\Delta $):
Agora, encontrando as raízes:
Então, temos duas soluções:
Passo 3
Com as raízes $ x = -2 $ e $ x = 4 $, vamos analisar os intervalos que elas criam na reta numérica para ver onde a expressão $ x^{2} - 2x - 8 $ é maior ou igual a zero. A parábola formada pela função quadrática abre para cima (porque o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo), então ela estará acima do eixo $ x $ nos intervalos externos às raízes. Isso significa que:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x - 8} $ é: