Sabe-se que o Césio-137 é um elemento radioativo e que a sua meia-vida é de 30 anos. Suponha que temos uma amostra com 200 mg de Césio- 137 .
a) Qual a massa de Césio- 137 restante após
anos?
b) Qual será a massa de Césio-137 na amostra após 90 anos?
c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
a) Qual a massa de Césio- 137 restante após
b) Qual será a massa de Césio-137 na amostra após 90 anos?
c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre decaimento radioativo do Césio-137. A gente vai precisar entender o conceito de meia-vida e usar a fórmula de decaimento exponencial. A massa inicial é de 200 mg e a meia-vida do Césio-137 é de 30 anos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da substância radioativa se desintegrar. A fórmula geral para calcular a massa restante após um certo tempo é:
Onde:
- $ m(t) $ é a massa restante após tempo $ t $,
- $ m_0 $ é a massa inicial,
- $ T $ é a meia-vida.
Passo 3
Vamos resolver a parte a): Qual a massa de Césio-137 restante após $ t $ anos?
Usando a fórmula, substituímos os valores:
- $ m_0 = 200 $ mg,
- $ T = 30 $ anos.
Então,
Passo 4
Agora, para a parte b): Qual será a massa de Césio-137 na amostra após 90 anos?
Vamos usar a mesma fórmula e substituir $ t = 90 $ anos.
Passo 5
Por fim, para a parte c): Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
Queremos encontrar $ t $ quando $ m(t) = 1 $ mg.
Usando a fórmula:
Dividindo ambos os lados por 200:
Agora, aplicamos o logaritmo para resolver para $ t $:
Resposta
a) A massa de Césio-137 restante após $ t $ anos é $ m(t) = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} $ mg.
b) Após 90 anos, haverá 25 mg de Césio-137 na amostra.
c) Serão necessários aproximadamente 229 anos para que reste apenas 1 mg de Césio-137 na amostra.