Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função
, que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t . Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
onde
são constantes positiva. A constante
representa o conhecimento inicial do indivíduo.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para
.
b) Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando
? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes ke
representam.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para
b) Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando
Passo 1
O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que modela a curva de aprendizado, dada por
, onde
e
são constantes positivas e
. Vamos usar técnicas de equações de primeira ordem para encontrar
e depois analisar o limite quando
.
Passo 2
A equação é separável. Podemos escrever
Integramos os dois lados:
Como
, obtemos
ou equivalentemente
Passo 3
Elevando exponencial:
onde
é constante de integração. Usamos a condição inicial
para achar
:
Logo
, e a solução fica
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
: como
,
Isso mostra que