Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P(t), que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t . Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
d Pd t=k(M-P)
onde M e k são constantes positiva. A constante P0= P(0) <= M representa o conhecimento inicial do indivíduo.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para P(t).
b) Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando t infty ? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes ke M representam.

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que modela a curva de aprendizado, dada por dP/dt = k,(M - P), onde M e k são constantes positivas e P(0)=P0. Vamos usar técnicas de equações de primeira ordem para encontrar P(t) e depois analisar o limite quando ttoinfty.

Passo 2

A equação é separável. Podemos escrever
dPdt = k,(M - P) Longrightarrow dPM - P = k,dt
Integramos os dois lados:
integral dPM - P = integral k,dt
Como integral dP/(M-P) = -ln|M - P| + C1, obtemos
-ln|M - P| = kt + C1
ou equivalentemente
ln|M - P| = -kt + C2

Passo 3

Elevando exponencial:
M - P = C,e^-kt
onde C = e^C2 é constante de integração. Usamos a condição inicial P(0) = P0 para achar C:
M - P0 = C,e^-kcdot 0 = C
Logo C = M - P0, e a solução fica
P(t) = M - (M - P0),e^-kt

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ttoinfty: como e^-ktto 0,
limttoinftyP(t) = M
Isso mostra que M é o nível máximo de conhecimento que pode ser alcançado e que k determina a rapidez com que o indivíduo se aproxima desse nível máximo.

Resposta

P(t) = M - (M - P0),e^-kt, limttoinftyP(t) = M Aqui, M é o conhecimento assintótico máximo e k mede a velocidade com que se atinge esse nível.

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