Determine o domínio de cada uma das seguintes funções. Represente-o como um intervalo ou uma reunião de intervalos de R. No nosso contexto, o domínio de uma função f é o conjunto de todos os números reais x para os quais f(x) é um número real.
f(x)=1raiz2 x-x^2

Passo 1

O problema pede o domínio da função f(x)=1raiz2x - x^2. O conteúdo é domínio de funções reais que envolvem raiz quadrada e divisão, e vamos precisar garantir ao mesmo tempo que o radicando da raiz seja não negativo e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para a raiz quadrada existir e ser número real, o radicando precisa satisfazer 2x - x^2 >= 0. Além disso, como esse resultado está no denominador, é obrigatório que 2x - x^2 neq 0. Resumindo as duas condições em uma só, precisamos de
2x - x^2 > 0

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade. Fatorando o lado esquerdo:
2x - x^2 = x(2 - x)
Então buscamos onde
x(2 - x) > 0

Passo 4

Como é um produto de dois termos, isso acontece quando ambos são positivos ou ambos são negativos. O intervalo onde isso ocorre é
0 < x < 2

Passo 5

Portanto, todos os valores de x entre 0 e 2 tornam o radicando positivo e evitam divisão por zero.

Resposta

(0, 2)

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