Questão 2:
Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1), calcule:
c) a área do paralelogramo determinado por u e v;
d) a altura do triangulo relativa à base definida pelo vetor v.

Passo 1

Vamos resumir: temos os vetores vec u=(3,-1,2) e vec v=(-2,2,1). A parte © pede a área do paralelogramo formado por esses vetores, que na geometria vetorial é o módulo do produto vetorial vec utimesvec v. A parte (d) quer a altura do triângulo cuja base tem comprimento igual a |vec v|.

Passo 2

Para achar o produto vetorial usamos a definição por determinante:
vec u times vec v = i & j & k 3 & -1 & 2 -2 & 2 & 1
Fazendo a expansão, obtemos
vec u times vec v = (-1cdot1 - 2cdot2),i - (3cdot1 - 2cdot(-2)),j + (3cdot2 - (-1)cdot(-2)),k = (-5,-7,4)

Passo 3

Agora calculamos o módulo de vec utimesvec v:
|vec utimesvec v| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 = 3raiz10
Como a área do paralelogramo é justamente esse módulo, concluímos que
Áreapara<=logramo = 3raiz10Á

Passo 4

Para a altura do triângulo relativo à base vec v, lembramos que
Áreatriang<= = basetimesaÁ
Aqui a base tem comprimento |vec v| e a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja tfrac12,|vec utimesvec v|.
Portanto a altura h satisfaz
h = 2times Áreatriang<=|vec v| = |vec utimesvec v||vec v| Á

Passo 5

Falta calcular |vec v|:
|vec v| = raiz(-2)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
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h = 3raiz103 = raiz10

Resposta

c) 3raiz10; d) raiz10.

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