Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
h(x)=\operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de h.
  • Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores) de h.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a composição da função arco tangente com a função linear x\mapsto \dfrac{x}{2}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que é \operatorname{arctg} (arco-tangente).
  • A notação \operatorname{arctg} é a mesma que \operatorname{arctan}, ou seja, é a função inversa principal da tangente.
  • Por definição (ramo principal), a função \operatorname{arctg}\colon\mathbb{R}\to\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) associa a cada número real y o ângulo \theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan\theta=y.
  • Em palavras fáceis: \operatorname{arctg} aceita qualquer número real como entrada e devolve um ângulo entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2} (não incluindo os extremos).

Passo 3

Determinar o domínio de h(x)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Primeiro, olhar a função interna x\mapsto\dfrac{x}{2}. Essa função está definida para todo x\in\mathbb{R} (divisão por 2 nunca dá problema).
  • Em seguida, verificar se os valores \dfrac{x}{2} estão no domínio de \operatorname{arctg}. Como mencionado no Passo 2, o domínio de \operatorname{arctg} é todo \mathbb{R}.
  • Portanto, toda x\in\mathbb{R} é permitida: a composição está definida para qualquer real.
  • Conclusão: o domínio de h é \mathbb{R}.

Passo 4

Explicando o que é o conjunto imagem e como encontrá-lo aqui.
  • O conjunto imagem (ou conjunto de valores) de h é o conjunto \{h(x)\mid x\in\text{domínio}\}í.
  • Como \operatorname{arctg} já tem imagem \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) quando argumentada por todo \mathbb{R}, precisamos verificar que ao substituir \dfrac{x}{2} no lugar do argumento não perdemos nenhum valor desse intervalo.
  • Intuição: a transformação x\mapsto\dfrac{x}{2} é uma bijeção de \mathbb{R} sobre \mathbb{R} (cada real aparece exatamente uma vez como \dfrac{x}{2}). Logo, fazendo \operatorname{arctg} sobre todos esses valores atinge exatamente a mesma imagem que \operatorname{arctg} atinge quando aplicada a todo \mathbb{R}.

Passo 5

Rigor via limites e monotonicidade (para ficar bem convencido).
  • Calcular os limites nas extremidades para ver quais valores limite h(x) pode se aproximar:
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}.
Esses limites são os mesmos que para \operatorname{arctg}(t) quando t\to\pm\infty, porque \dfrac{x}{2}\to\pm\infty quando x\to\pm\infty.
  • Além disso, h é estritamente crescente: a derivada (se já viu cálculo) é
h'(x)=\frac{1}{1+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2\bigl(1+\dfrac{x^2}{4}\bigr)}>0\quad\text{para todo }x.
  • Sendo contínua e estritamente crescente, o conjunto imagem é o intervalo aberto entre os limites quando x\to-\infty e x\to+\infty, ou seja,
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

Passo 6

Resumo didático e motivador (pequena recapitulação).
  • Domínio: qualquer x real porque x/2 é real e \operatorname{arctg} aceita qualquer real.
  • Imagem: todos os ângulos entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2} porque x/2 percorre todo \mathbb{R} e \operatorname{arctg} envia \mathbb{R} precisamente para \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • Você conseguiu! É uma questão de reconhecer propriedades da arco-tangente e da função linear composta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)

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