Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a composição da função arco tangente com a função linear
. - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que é
(arco-tangente).
- A notação
é a mesma que , ou seja, é a função inversa principal da tangente. - Por definição (ramo principal), a função
associa a cada número real o ângulo tal que . - Em palavras fáceis:
aceita qualquer número real como entrada e devolve um ângulo entre e (não incluindo os extremos).
Passo 3
Determinar o domínio de
.
- Primeiro, olhar a função interna
. Essa função está definida para todo (divisão por nunca dá problema). - Em seguida, verificar se os valores
estão no domínio de . Como mencionado no Passo 2, o domínio de é todo . - Portanto, toda
é permitida: a composição está definida para qualquer real. - Conclusão: o domínio de
é .
Passo 4
Explicando o que é o conjunto imagem e como encontrá-lo aqui.
- O conjunto imagem (ou conjunto de valores) de
é o conjunto . - Como
já tem imagem quando argumentada por todo , precisamos verificar que ao substituir no lugar do argumento não perdemos nenhum valor desse intervalo. - Intuição: a transformação
é uma bijeção de sobre (cada real aparece exatamente uma vez como ). Logo, fazendo sobre todos esses valores atinge exatamente a mesma imagem que atinge quando aplicada a todo .
Passo 5
Rigor via limites e monotonicidade (para ficar bem convencido).
- Calcular os limites nas extremidades para ver quais valores limite
pode se aproximar:
Esses limites são os mesmos que para
quando
, porque
quando
.
- Além disso,
é estritamente crescente: a derivada (se já viu cálculo) é
- Sendo contínua e estritamente crescente, o conjunto imagem é o intervalo aberto entre os limites quando
e , ou seja,
Passo 6
Resumo didático e motivador (pequena recapitulação).
- Domínio: qualquer
real porque é real e aceita qualquer real. - Imagem: todos os ângulos entre
e porque percorre todo e envia precisamente para . - Você conseguiu! É uma questão de reconhecer propriedades da arco-tangente e da função linear composta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: