Determine o domínio de continuidade da função f(z).
f(z)=\frac{z-1}{z \bar{z}-4}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de continuidade de
f(z)=\frac{z-1}{z\,\bar z-4}.
Aqui o conteúdo é continuidade de funções de variável complexa, e vamos usar que quocientes de funções contínuas são contínuos onde o denominador é não nulo.

Passo 2

Observamos que as aplicações
z\mapsto z-1 \quad\text{e}\quad z\mapsto z\,\bar z
são contínuas em todo \mathbb{C}. Como
z\,\bar z=|z|^2
é contínuo, o denominador
z\,\bar z-4=|z|^2-4
também é contínuo. Logo, f só pode falhar em ser contínua onde o denominador se anula.

Passo 3

Determinar onde o denominador zera:
z\,\bar z-4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad |z|^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad |z|=2.
Portanto, todos os pontos z tais que |z|=2 fazem o denominador ficar zero.

Passo 4

Em consequência, f é contínua em todo \mathbb{C} exceto nos pontos onde |z|=2.

Resposta

O domínio de continuidade de f é
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|\neq 2\}.

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