Resolva a equação \log _{3}\left(x^{2}+3 x-1\right)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{3}\bigl(x^{2}+3x-1\bigr)=2.
Aqui o conteúdo é logaritmo: primeiro vamos impor o domínio do logaritmando e depois usar a definição de logaritmo para transformar em equação exponencial.

Passo 2

Para que \log_{3}\bigl(x^{2}+3x-1\bigr) faça sentido, precisamos ter
x^{2}+3x-1>0.
As raízes da equação x^{2}+3x-1=0 são
x = \frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a inequação x^{2}+3x-1>0 vale quando
x < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \quad\text{ou}\quad x > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}.

Passo 3

Usando a definição de logaritmo:
\log_{3}\bigl(x^{2}+3x-1\bigr)=2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+3x-1 = 3^{2} = 9.

Passo 4

Passando tudo para um lado, obtemos a equação quadrática
x^{2}+3x-10=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot1\cdot(-10)}}{2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{2} = \frac{-3\pm7}{2}.
Logo,
x_{1} = \frac{-3+7}{2} = 2, \quad x_{2} = \frac{-3-7}{2} = -5.

Passo 5

Agora verificamos o domínio:
-5 < \tfrac{-3-\sqrt{13}}{2} (pois \tfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\approx-3,30) e
2 > \tfrac{-3+\sqrt{13}}{2} (pois \tfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\approx0,30).
Portanto, ambas as soluções satisfazem o domínio.

Resposta

\,x = -5
\,x = 2

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