Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
. O conteúdo é análise de funções logarítmicas e para desenhar vamos usar:
– domínio e assíntotas
– interceptos e pontos notáveis
– monotonicidade e concavidade
– domínio e assíntotas
– interceptos e pontos notáveis
– monotonicidade e concavidade
Passo 2
Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O logaritmo só está definido para argumentos positivos, então o domínio é
O logaritmo só está definido para argumentos positivos, então o domínio é
Quando
,
, o que gera uma assíntota vertical em
A imagem de
é todo
.
Passo 3
Calcular pontos notáveis para ajudar no esboço:
– Para :
– Para
– Para
:
– Para
:
Passo 4
Analisar o crescimento e a curvatura da curva.
A derivada é
A derivada é
que é positiva para todo
. Logo,
é estritamente crescente.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
que é negativa para todo
. Logo, a curva é côncava para baixo.
Passo 5
Esboçar o gráfico usando as informações:
– Trace os eixos e
.
– Desenhe a assíntota vertical .
– Marque os pontos ,
e
.
– Desenhe uma curva que, vindo de quando
, passe por esses pontos, seja crescente e se nivele subindo lentamente para
quando
.
– Trace os eixos
– Desenhe a assíntota vertical
– Marque os pontos
– Desenhe uma curva que, vindo de
Resposta
O esboço qualitativo de
é uma curva que:
- Só existe para
, com assíntota vertical em . - Passa por
, e . - É sempre crescente e côncava para baixo.
- Tende a
ao se aproximar de e a quando .