Esboce o gráfico da função f(x)=\log _{3}(x).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função f(x)=\log_{3}(x). O conteúdo é análise de funções logarítmicas e para desenhar vamos usar:
– domínio e assíntotas
– interceptos e pontos notáveis
– monotonicidade e concavidade

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O logaritmo só está definido para argumentos positivos, então o domínio é
x>0.
Quando x\to0^+, f(x)=\log_{3}(x)\to-\infty, o que gera uma assíntota vertical em
x=0.
A imagem de f é todo \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular pontos notáveis para ajudar no esboço:
– Para x=1:
f(1)=\log_{3}(1)=0.
– Para x=3:
f(3)=\log_{3}(3)=1.
– Para x=\tfrac13:
f\bigl(\tfrac13\bigr)=\log_{3}\bigl(\tfrac13\bigr)=-1.

Passo 4

Analisar o crescimento e a curvatura da curva.
A derivada é
f'(x)=\frac{1}{x\ln(3)},
que é positiva para todo x>0. Logo, f é estritamente crescente.
A segunda derivada é
f''(x)=-\frac{1}{x^2\ln(3)},
que é negativa para todo x>0. Logo, a curva é côncava para baixo.

Passo 5

Esboçar o gráfico usando as informações:
– Trace os eixos x e y.
– Desenhe a assíntota vertical x=0.
– Marque os pontos \bigl(\tfrac13,-1\bigr), (1,0) e (3,1).
– Desenhe uma curva que, vindo de -\infty quando x\to0^+, passe por esses pontos, seja crescente e se nivele subindo lentamente para +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

O esboço qualitativo de f(x)=\log_{3}(x) é uma curva que:
  • Só existe para x>0, com assíntota vertical em x=0.
  • Passa por \bigl(\tfrac13,-1\bigr), (1,0) e (3,1).
  • É sempre crescente e côncava para baixo.
  • Tende a -\infty ao se aproximar de x=0^+ e a +\infty quando x\to+\infty.

Exercícios relacionados