Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites: \lim _{y \rightarrow x} \operatorname{sen}(x y)+\cos \left(y^{2}-x\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{y\to x} \sin(xy) + \cos\bigl(y^{2}-x\bigr).
Informações dadas:
A variável que está se aproximando de um valor é y; a aproximação é y\to x.
A expressão envolve x e y; aqui x fica como um parâmetro (livre) e o limite é tomado em relação a y.
O objetivo é obter uma expressão em termos de x (se o limite existir para todo x ou para certos x).
Passo 2
Ideia geral (sem avançar nos cálculos ainda): para limites, podemos usar que o limite de uma soma é a soma dos limites (quando os limites separados existirem) e que funções trigonométricas elementares como \sin e \cos são contínuas, ou seja, o limite da composição é a composição do limite do argumento. Vou aplicar essas ideias mostrando primeiro que os argumentos internos convergem quando y\to x.
Passo 3
Mostrar que \,xy\to x^{2} quando y\to x.
Calcule a diferença:
|xy - x^{2}| = |x|\,|y-x|.
Se y\to x, então |y-x|\to 0. Como |x| é constante em relação a y, segue que
Quando y\to x, temos y próximo de x, então y+x fica próximo de 2x e permanece limitado. Para deixar isso explícito, escolha \delta \le 1; se |y-x|<\delta então |y|\le |x|+1, logo
|y+x|\le |y|+|x|\le 2|x|+1.
Assim
|y^{2}-x^{2}| \le |y-x|\,(2|x|+1),
e como |y-x|\to 0 segue que |y^{2}-x^{2}|\to 0. Portanto
\lim_{y\to x} (y^{2}-x) = x^{2}-x.
Passo 5
Usar continuidade de \sin e \cos e as regras de limite.
Fatos usados (explicados de forma simples):
A função \sin é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que, se uma sequência (ou variável) t tende a t_{0}, então \sin(t) tende a \sin(t_{0}).
O mesmo vale para \cos.
A soma de limites é o limite da soma, quando os limites individuais existem.
Aplicando ao problema:
Já mostramos que \lim_{y\to x} xy = x^{2}. Pela continuidade de \sin,
Comentário prático e exemplo para fixar a ideia: a operação feita foi substituir y por x nos argumentos internos porque esses argumentos convergem para valores finitos quando y\to x, e então aplicar continuidade das funções trigonométricas. Por exemplo, se x=1, o limite vale