Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow n^{+}} x-[x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to n^{+}} \bigl(x-[x]\bigr).
Informações dadas (assumindo formulação típica):
  • [x] é a função parte inteira (piso, floor) de x.
  • n é um número inteiro (por isso faz sentido falar em n^{+}, o limite pela direita em n).
    O que se deve encontrar: o valor, se existir, desse limite quando x se aproxima de n por valores maiores que n.

Passo 2

Definição e propriedades úteis da função parte inteira:
  • Para qualquer real x, [x] é o maior inteiro que não excede x. Ou seja, [x]\le x e se k é inteiro com k\le x então k\le [x].
  • Em particular, para um inteiro n e qualquer x com n<x<n+1 vale
[x]=n.
  • No ponto exato x=n temos [n]=n.

Passo 3

Análise do comportamento de x-[x] quando x se aproxima de n pela direita:
Se x\to n^{+} então estamos considerando valores x tais que x>n e arbitrariamente próximos de n. Para esses x (suficientemente próximos de n) temos, pelo item anterior,
[x]=n.
Portanto, para esses x,
x-[x]=x-n.

Passo 4

Cálculo do limite usando a simplificação obtida:
Como x-[x]=x-n para x imediatamente à direita de n, segue
\lim_{x\to n^{+}} \bigl(x-[x]\bigr) = \lim_{x\to n^{+}} (x-n).
Mas \lim_{x\to n^{+}} (x-n)=0 porque x-n tende a zero quando x tende a n. Logo o limite existe e é 0.

Passo 5

Intuição e exemplo numérico (para fixar a ideia):
Tome n=3. Se x=3{,}2 então [x]=3 e x-[x]=0{,}2. Se x=3{,}01 então x-[x]=0{,}01. À medida que x se aproxima de 3 vindo pela direita, esses restos positivos vão a 0. Isso confirma que o limite pela direita é 0.

Resposta

0

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