Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas (assumindo formulação típica):
-
é a função parte inteira (piso, floor) de . -
é um número inteiro (por isso faz sentido falar em , o limite pela direita em ).
O que se deve encontrar: o valor, se existir, desse limite quandose aproxima de por valores maiores que .
Passo 2
Definição e propriedades úteis da função parte inteira:
- Para qualquer real
, é o maior inteiro que não excede . Ou seja, e se é inteiro com então . - Em particular, para um inteiro
e qualquer com vale
- No ponto exato
temos .
Passo 3
Análise do comportamento de
quando
se aproxima de
pela direita:
Se então estamos considerando valores
tais que
e arbitrariamente próximos de
. Para esses
(suficientemente próximos de
) temos, pelo item anterior,
Se
Portanto, para esses
,
Passo 4
Cálculo do limite usando a simplificação obtida:
Como para
imediatamente à direita de
, segue
Como
Mas
porque
tende a zero quando
tende a
. Logo o limite existe e é
.
Passo 5
Intuição e exemplo numérico (para fixar a ideia):
Tome . Se
então
e
. Se
então
. À medida que
se aproxima de
vindo pela direita, esses restos positivos vão a
. Isso confirma que o limite pela direita é
.
Tome