Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=11+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=11+y^2
  1. determinar o domínio;
  2. achar as interseções do gráfico com os planos x=0, y=0 e z=0;
  3. determinar e traçar as curvas de nível;
  4. esboçar o gráfico tridimensional.
    Aqui vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, interseção de superfícies com planos, curvas de nível e noção de superfície de revolução (ou transladação).

Passo 2

Para o domínio precisamos garantir que o denominador não seja zero. Como
1 + y^2>=1>0
para todo yinR, a fração está sempre bem definida. Logo
D = l(x,y)inR^2r

Passo 3

Interseção com o plano x=0: basta pôr x=0 em f. Obtemos a curva no plano yz:
z = f(0,y)=11+y^2, (0,y,z)
Interseção com o plano y=0: pôr y=0
z = f(x,0)=1, (x,0,1),
ou seja, reta paralela ao eixo x na altura z=1.
Interseção com o plano z=0: resolvemos
11+y^2=0,
não há solução real, então não há interseção com z=0.

Passo 4

Para as curvas de nível definimos f(x,y)=k com k constante. Assim
11+y^2=k Longrightarrow y^2=1-kk
Como f varia em 0<z<=1, só faz sentido 0<k<=1. Para cada k temos
y=pmraiz1-kk,
independente de x. No plano xy, as curvas de nível são pares de retas horizontais em
y=pmraiztfrac1-kk.
Em especial, para k=1 sobra a reta y=0.

Passo 5

O esboço do gráfico é a superfície obtida ao traduzir a curva z=1/(1+y^2) ao longo do eixo x. Para cada valor fixo de y, z decai de 1 (em y=0) até 0 quando lvert yrverttoinfty, e esse perfil repete-se para todo x. Fica então um “túnel” ou “cortina” com crista em y=0, uniformemente estendido ao longo de x.

Resposta

Domínio:
D=(x,y)inR^2
Interseções com planos coordenados:
x=0: & (0,y,z) com z=dfrac11+y^2, y=0: & (x,0,1), z=0: & nenhuma
Curvas de nível f(x,y)=k ( 0<k<=1):
y=pmraiz1-kk(retas horizontais no plano (xy))
Esboço: superfície constante em x, perfil em y dado por z=1/(1+y^2), crista em y=0 e decaimento até zto0 quando lvert yrverttoinfty.

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