Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar o domínio;
achar as interseções do gráfico com os planos , e ;
determinar e traçar as curvas de nível;
esboçar o gráfico tridimensional.
Aqui vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, interseção de superfícies com planos, curvas de nível e noção de superfície de revolução (ou transladação).
Passo 2
Para o domínio precisamos garantir que o denominador não seja zero. Como
para todo , a fração está sempre bem definida. Logo
Passo 3
Interseção com o plano : basta pôr em . Obtemos a curva no plano :
Interseção com o plano : pôr dá
ou seja, reta paralela ao eixo na altura .
Interseção com o plano : resolvemos
não há solução real, então não há interseção com .
Passo 4
Para as curvas de nível definimos com constante. Assim
Como varia em , só faz sentido . Para cada temos
independente de . No plano , as curvas de nível são pares de retas horizontais em .
Em especial, para sobra a reta .
Passo 5
O esboço do gráfico é a superfície obtida ao traduzir a curva ao longo do eixo . Para cada valor fixo de , decai de (em ) até quando , e esse perfil repete-se para todo . Fica então um “túnel” ou “cortina” com crista em , uniformemente estendido ao longo de .
Resposta
Domínio:
Interseções com planos coordenados:
Curvas de nível f(x,y)=k (0<k<=1):
y=pmraiz1-kk(retas horizontais no plano (xy))
Esboço: superfície constante em x, perfil em y dado por z=1/(1+y^2), crista em y=0 e decaimento até zto0 quando lvert yrverttoinfty.