Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, encontrar as interseções do gráfico com os planos coordenados, determinar e traçar as curvas de nível e, por fim, esboçar o gráfico da função. Tudo isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função, como encontrar interseções com planos coordenados e como identificar e desenhar curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
.
Teoria: O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida, ou seja, que resultam em um número real.
Resolução: Nossa função é um polinômio do segundo grau em
e
, e polinômios são definidos para todos os números reais. Portanto, não há restrições nos valores de
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar e traçar as interseções do gráfico com os planos coordenados.
Teoria: As interseções com os planos coordenados nos mostram como o gráfico se comporta quando uma das variáveis é zero.
-
Interseção com o plano xy (z = 0):
- Definimos
na função: - Simplificando:
- Essa é a equação de um círculo com raio 4 centrado na origem.
- Definimos
-
Interseção com o plano xz (y = 0):
- Definimos
na função: - Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo no plano xz.
- Definimos
-
Interseção com o plano yz (x = 0):
- Definimos
na função: - Essa também é uma parábola que abre para baixo no plano yz.
- Definimos
Passo 4
Vamos determinar e traçar as curvas de nível da função.
Teoria: As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante. Elas ajudam a visualizar como a função varia no espaço.
Resolução: Seja
um valor constante, então:
Dependendo do valor de
:
- Se
, temos um círculo com raio . - Se
, temos um ponto no centro (a origem). - Se
, não há soluções reais, pois o raio seria imaginário.
Isso mostra que as curvas de nível são círculos concêntricos com a origem, diminuindo de tamanho conforme
aumenta.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função.
Teoria: A função
representa uma superfície tridimensional. Pelo formato da função, identificamos que é um paraboloide circular que abre para baixo.
Características do gráfico:
- Vértice: No ponto
, que é o ponto mais alto da superfície. - Simetria: Simétrica em relação aos eixos
e . - Interseções: Já vimos que corta o plano xy em um círculo de raio 4 e os planos xz e yz em parábolas.
Resposta
Então, resumindo:
- Domínio: Todos os números reais
e . - Interseções com planos coordenados:
- Plano xy: Círculo
. - Planos xz e yz: Parábolas
e .
- Plano xy: Círculo
- Curvas de nível: Círculos concêntricos
para . - Gráfico: Um paraboloide circular que abre para baixo com vértice no ponto
.