Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=16-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, encontrar as interseções do gráfico com os planos coordenados, determinar e traçar as curvas de nível e, por fim, esboçar o gráfico da função. Tudo isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função, como encontrar interseções com planos coordenados e como identificar e desenhar curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função f(x, y) = 16 - x^2 - y^2 .
Teoria: O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida, ou seja, que resultam em um número real.
Resolução: Nossa função é um polinômio do segundo grau em x e y , e polinômios são definidos para todos os números reais. Portanto, não há restrições nos valores de x e y .

Passo 3

Agora, vamos determinar e traçar as interseções do gráfico com os planos coordenados.
Teoria: As interseções com os planos coordenados nos mostram como o gráfico se comporta quando uma das variáveis é zero.
  1. Interseção com o plano xy (z = 0):
    • Definimos z = 0 na função: 0 = 16 - x^2 - y^2
    • Simplificando: x^2 + y^2 = 16
    • Essa é a equação de um círculo com raio 4 centrado na origem.
  2. Interseção com o plano xz (y = 0):
    • Definimos y = 0 na função: z = 16 - x^2
    • Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo no plano xz.
  3. Interseção com o plano yz (x = 0):
    • Definimos x = 0 na função: z = 16 - y^2
    • Essa também é uma parábola que abre para baixo no plano yz.

Passo 4

Vamos determinar e traçar as curvas de nível da função.
Teoria: As curvas de nível são conjuntos de pontos (x, y) onde a função f(x, y) assume um valor constante. Elas ajudam a visualizar como a função varia no espaço.
Resolução: Seja k um valor constante, então:
16 - x^2 - y^2 = k
x^2 + y^2 = 16 - k
Dependendo do valor de k :
  • Se k < 16 , temos um círculo com raio raiz16 - k .
  • Se k = 16 , temos um ponto no centro (a origem).
  • Se k > 16 , não há soluções reais, pois o raio seria imaginário.
Isso mostra que as curvas de nível são círculos concêntricos com a origem, diminuindo de tamanho conforme k aumenta.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função.
Teoria: A função f(x, y) = 16 - x^2 - y^2 representa uma superfície tridimensional. Pelo formato da função, identificamos que é um paraboloide circular que abre para baixo.
Características do gráfico:
  • Vértice: No ponto (0, 0, 16), que é o ponto mais alto da superfície.
  • Simetria: Simétrica em relação aos eixos x e y .
  • Interseções: Já vimos que corta o plano xy em um círculo de raio 4 e os planos xz e yz em parábolas.

Resposta

Então, resumindo:
  • Domínio: Todos os números reais x e y .
  • Interseções com planos coordenados:
    • Plano xy: Círculo x^2 + y^2 = 16 .
    • Planos xz e yz: Parábolas z = 16 - x^2 e z = 16 - y^2 .
  • Curvas de nível: Círculos concêntricos x^2 + y^2 = 16 - k para k < 16 .
  • Gráfico: Um paraboloide circular que abre para baixo com vértice no ponto (0, 0, 16).

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