Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=4x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=4x^2+4y^2
(1) determinar o domínio;
(2) determinar e traçar as interseções do gráfico z=f(x,y) com os planos coordenados xy- , xz- e yz-;
(3) determinar e traçar as curvas de nível;
(4) esboçar o gráfico da superfície.
Vamos usar ideias de domínio de funções racionais, cortes da superfície por planos e definição de curvas de nível.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador não seja zero:
x^2+4y^2neq0
Isto acontece salvo apenas em (x,y)=(0,0). Logo o domínio é
(x,y)inR^2mid (x,y)neq(0,0) =R^2setminus(0,0)

Passo 3

Interseções com os planos coordenados:
  1. Plano xy ( z=0): não há solução de
4x^2+4y^2=0,
logo é vazio.
2. Plano xz ( y=0): fica
z=f(x,0)=4x^2, xneq0
Este é um par de ramos no plano y=0, com assíntota vertical em x=0 e decrescendo para 0 quando |x|toinfty.
3. Plano yz ( x=0): fica
z=f(0,y)=44y^2=1y^2, yneq0
Também um par de ramos no plano x=0, com mesma forma de 1/y^2.

Passo 4

Curvas de nível definidas por
f(x,y)=k ;Long<=ftrightarrow; 4x^2+4y^2=k ;Long<=ftrightarrow; x^2+4y^2=4k
Para k>0 isto é a família de elipses centradas na origem, com semi-eixo em x igual a 2/raizk e em y igual a 1/raizk. Para k<=0 não há curvas de nível.

Passo 5

Esboço da superfície z=f(x,y):
  • Tem simetria nas reflexões xto -x e yto -y.
  • Cresce sem limite quando (x,y)to(0,0) (pico infinito).
  • Para |(x,y)|toinfty, zto0, aproximando-se do plano xy.
  • As “seções” por planos y=const são gráficos de 4/(x^2+C) e por x=const gráficos de 4/(C+4y^2).

Resposta

Domínio: R^2setminus(0,0).
Interseções:
  • com xy-plano ( z=0): nenhuma;
  • com xz-plano ( y=0): z=4/x^2, xneq0;
  • com yz-plano ( x=0): z=1/y^2, yneq0.
    Curvas de nível: para cada k>0,
x^2+4y^2=4k,
elipses de semi-eixos 2/raizk e 1/raizk.
Gráfico: superfície com pico infinito em (0,0) e decaindo para zero à medida que raizx^2+y^2toinfty, com simetria em x e y.

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