Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para a função
(1) determinar o domínio;
(2) determinar e traçar as interseções do gráfico com os planos coordenados
-
,
- e
-;
(3) determinar e traçar as curvas de nível;
(4) esboçar o gráfico da superfície.
Vamos usar ideias de domínio de funções racionais, cortes da superfície por planos e definição de curvas de nível.
(2) determinar e traçar as interseções do gráfico
(3) determinar e traçar as curvas de nível;
(4) esboçar o gráfico da superfície.
Vamos usar ideias de domínio de funções racionais, cortes da superfície por planos e definição de curvas de nível.
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos que o denominador não seja zero:
Isto acontece salvo apenas em
. Logo o domínio é
Passo 3
Interseções com os planos coordenados:
- Plano
( ): não há solução de
logo é vazio.
2. Plano (
): fica
2. Plano
Este é um par de ramos no plano
, com assíntota vertical em
e decrescendo para
quando
.
3. Plano (
): fica
3. Plano
Também um par de ramos no plano
, com mesma forma de
.
Passo 4
Curvas de nível definidas por
Para
isto é a família de elipses centradas na origem, com semi-eixo em
igual a
e em
igual a
. Para
não há curvas de nível.
Passo 5
Esboço da superfície
:
- Tem simetria nas reflexões
e . - Cresce sem limite quando
(pico infinito). - Para
, , aproximando-se do plano . - As “seções” por planos
const são gráficos de e por const gráficos de .
Resposta
Domínio:
.
Interseções:
Interseções:
- com
-plano ( ): nenhuma; - com
-plano ( ): , ; - com
-plano ( ): , .
Curvas de nível: para cada,
elipses de semi-eixos
e
.
Gráfico: superfície com pico infinito em e decaindo para zero à medida que
, com simetria em
e
.
Gráfico: superfície com pico infinito em