Resolva as equações em R :
4<|x+1|<6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação 4 < |x + 1| < 6 no conjunto dos números reais ( R). Esse problema envolve inequações com valor absoluto, que geralmente aparecem em álgebra. Vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo valor absoluto para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x + 1|. O valor absoluto de uma expressão, como |x + 1|, representa a distância dessa expressão em relação a zero na reta numérica, independentemente da direção. Então, a inequação 4 < |x + 1| < 6 está dizendo que a distância de x + 1 até zero deve ser maior que 4 e menor que 6.

Passo 3

Para resolver 4 < |x + 1| < 6, vamos dividir essa dupla inequação em duas partes separadas e resolver cada uma delas:
  1. |x + 1| > 4
  2. |x + 1| < 6
Vamos resolver cada uma individualmente.

Passo 4

Vamos começar com |x + 1| > 4 .
Quando temos |A| > B , isso significa que A > B ou A < -B . Aplicando isso:
x + 1 > 4 ou x + 1 < -4
Resolvendo cada caso:
  1. x + 1 > 4
    Subtraindo 1 de ambos os lados:
x > 3
  1. x + 1 < -4
    Subtraindo 1 de ambos os lados:
x < -5
Então, a solução para |x + 1| > 4 é x > 3 ou x < -5 .

Passo 5

Agora, vamos resolver |x + 1| < 6 .
Quando temos |A| < B , isso significa que -B < A < B . Aplicando isso:
-6 < x + 1 < 6
Agora, vamos resolver para x:
Subtraindo 1 de todas as partes:
-7 < x < 5
Então, a solução para |x + 1| < 6 é -7 < x < 5 .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as condições: x > 3 ou x < -5 e -7 < x < 5 .
Vamos analisar cada caso:
  1. Para x > 3:
    • A segunda condição é x < 5.
    • Portanto, x deve ser maior que 3 e menor que 5.
    • Assim, 3 < x < 5.
  2. Para x < -5:
    • A segunda condição é x > -7.
    • Portanto, x deve ser maior que -7 e menor que -5.
    • Assim, -7 < x < -5.

Resposta

A solução da inequação 4 < |x + 1| < 6 em R é:
-7 < x < -5 ou 3 < x < 5

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