Determine o domínio e esboce:
f(x, y)=1sen(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sin(x + y)} $ e esboçar o gráfico dela.
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com funções de duas variáveis. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares f(x, y) = 1sin(x + y) para os quais a função está definida.
O que vamos precisar: Para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de (x, y) e x o denominador da fração não é zero, já que não podemos dividir por zero.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o denominador da função: sin(x + y).
Teoria aplicada: A função seno, sin(theta), é igual a zero quando theta é múltiplo de pi, ou seja, theta = kpi, onde k é um número inteiro.

Passo 3

Então, para que sin(x + y) neq 0, precisamos que x + y não seja igual a kpi.
Matematicamente:
x + y neq kpi para todo k in Z

Passo 4

Isso significa que o domínio da função são todos os pares (x, y) onde a soma de x e y não é um múltiplo inteiro de pi.
Expressando o domínio:
Domínio de f(x, y): x + y neq kpi para todo k in Z í

Passo 5

Esboçando o gráfico: No plano xy, cada linha onde x + y = kpi será onde a função não está definida. Essas linhas são diagonais inclinadas de -45 graus.
Por exemplo:
  • Para k = 0: x + y = 0 (a diagonal principal)
  • Para k = 1: x + y = pi
  • Para k = -1: x + y = -pi
  • E assim por diante…
Essas linhas se repetem a cada múltiplo de pi, criando uma grade de linhas proibidas onde a função não existe.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sin(x + y)} $ é todo o conjunto de números reais f(x, y) = 1sin(x + y) tais que (x, y) para qualquer inteiro x + y neq kpi. No gráfico, isso corresponde a todo o plano k exceto as linhas diagonais onde xy é múltiplo de x + y.

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