Determine
domínio e esboce:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sin(x + y)} $ e esboçar o gráfico dela.
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com funções de duas variáveis. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
O que vamos precisar: Para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de
e
o denominador da fração não é zero, já que não podemos dividir por zero.
Passo 2
Primeiro, olhamos para o denominador da função:
.
Teoria aplicada: A função seno,
, é igual a zero quando
é múltiplo de
, ou seja,
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
Então, para que
, precisamos que
não seja igual a
.
Matematicamente:
Passo 4
Isso significa que o domínio da função são todos os pares
onde a soma de
e
não é um múltiplo inteiro de
.
Expressando o domínio:
Passo 5
Esboçando o gráfico: No plano
, cada linha onde
será onde a função não está definida. Essas linhas são diagonais inclinadas de -45 graus.
Por exemplo:
- Para
: (a diagonal principal) - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Essas linhas se repetem a cada múltiplo de
, criando uma grade de linhas proibidas onde a função não existe.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sin(x + y)} $ é todo o conjunto de números reais
tais que
para qualquer inteiro
. No gráfico, isso corresponde a todo o plano
exceto as linhas diagonais onde
é múltiplo de
.