Dado o campo vetorial F=(x^2-2 x y) i+(3 y-x^2) j :
(b) Determine a função potencial do campo vetorial F(x, y)

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=(x^2-2xy),i+(3y-x^2),j. O conteúdo aqui é campos conservativos e função potencial: precisamos checar se F é conservativo e, se for, achar f(x,y) tal que nabla f=F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para verificar conservatividade. Definindo P(x,y)=x^2-2xy e Q(x,y)=3y-x^2, temos
partial Ppartial y=-2x,
e
partial Qpartial x=-2x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
integral(x^2-2xy),dx=x^33-x^2y+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora exigimos partial f/partial y=Q. Calculando
partial fpartial y=-x^2+h'(y)
e igualando a 3y-x^2 obtemos
h'(y)=3y Longrightarrow h(y)=3y^22+C

Passo 5

Portanto, uma função potencial é
f(x,y)=x^33-x^2y+3y^22+C
Podemos escolher C=0 para simplificar.

Resposta

f(x,y)=\frac{x3}{3}-x2y+\frac{3y^2}{2}

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