Determine
domínio e esboce:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função $ f(x, y) = e^{x / y} $ e também esboçá-la. Isso envolve entender de funções de duas variáveis, exponenciais e quais valores de $ x $ e $ y $ são permitidos para a função funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa o domínio de uma função. Basicamente, é a “área de validade” onde a função está bem definida. No caso da nossa função $ e^{x / y} $, temos uma divisão: $ x / y $. E aí, precisamos garantir que essa divisão seja possível, certo?
Passo 3
Então, o que pode dar problema aqui? Se tentarmos dividir qualquer número por zero, dá ruim, porque dividir por zero é indefinido na matemática. Ou seja, o denominador $ y $ não pode ser zero. Logo, para a função $ f(x, y) $ existir, $ y $ tem que ser diferente de zero.
Passo 4
Além disso, a função exponencial $ e^{alguma coisa} $ está definida para qualquer número real que colocarmos no expoente. Então, não temos outras restrições além de $ y \neq 0 $.
Passo 5
Agora, para esboçar a função, pense que ela depende da razão $ x / y $. Isso significa que para diferentes valores de $ y $, a forma da função muda conforme $ x $ varia. Quando $ y $ é positivo, $ e^{x / y} $ cresce exponencialmente conforme $ x $ aumenta, e quando $ y $ é negativo, ela decresce exponencialmente. Além disso, como $ y $ nunca pode ser zero, não temos a função definida na linha $ y = 0 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = e^{x / y} $ é todo o conjunto de números reais para $ x $ e $ y $, com a exceção de que $ y $ não pode ser zero. Então, em termos matemáticos: