Use o Teorema da Divergência para calcular integral duplaS F d S em que o campo vetorial é F=y^2 i+x j+z k e S é a superfície do sólido limitado pelo plano x y, pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelo plano y+z=3.
Assinale a alternativa correta.
a. 26 pi
O b. 27 pi
C. 28 pi
d. 24 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Essa superfície é o sólido limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Matematicamente, é escrito como:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .

Passo 3

A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z é dada por:
partial Ppartial x = partial y^2partial x = 0
No nosso caso, partial Qpartial y = partial xpartial y = 0 , partial Rpartial z = partial zpartial z = 1 e nabla cdot F = 0 + 0 + 1 = 1 . Vamos calcular cada termo:
Então,

Passo 4

Agora que temos a divergência, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume integral triplaV 1 , dV = Volume de V . Como , a integral se simplifica para calcular o volume do sólido .
Vamos entender melhor os limites desse volume. O sólido é limitado pelo cilindro , que tem raio 3, pelo plano (que é ) e pelo plano .

Passo 5

Para calcular o volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde integral triplaV 1 , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^3 - r sin theta r , dz , dr , dtheta , e . O cilindro se transforma em .
Os limites para são de 0 a 3, para de 0 a , e para , observando os planos e .
Então, a integral tripla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^3 - r sin theta dz = 3 - r sin theta :
integral0^2pi integral0^3 r (3 - r sin theta) , dr , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 3r - r^2 sin theta , dr , dtheta
Expandindo:

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a integral0^3 3r , dr = 3r^22|0^3 = 3 times 92 = 272 :
integral0^3 r^2 sin theta , dr = sin theta integral0^3 r^2 , dr = sin theta r^33|0^3 = sin theta times 9 = 9 sin theta
integral0^2pi ( 272 - 9 sin theta ) dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi 272 , dtheta = 272 times 2pi = 27pi :
integral0^2pi 9 sin theta , dtheta = 9 [ -cos theta ]0^2pi = 9(-cos 2pi + cos 0) = 9( -1 + 1 ) = 0
Portanto, o volume é .

Resposta

A alternativa correta é a b. .

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