Use o Teorema da Divergência para calcular em que o campo vetorial é e é a superfície do sólido limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo plano .
Assinale a alternativa correta.
a.
O b.
C.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Essa superfície é o sólido limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Matematicamente, é escrito como:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .
Passo 3
A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume . Como , a integral se simplifica para calcular o volume do sólido .
Vamos entender melhor os limites desse volume. O sólido é limitado pelo cilindro , que tem raio 3, pelo plano (que é ) e pelo plano .
Passo 5
Para calcular o volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde , e . O cilindro se transforma em .
Os limites para são de 0 a 3, para de 0 a , e para , observando os planos e .
Então, a integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Expandindo:
Passo 7
Vamos agora integrar em relação a :
integral0^2pi ( 272 - 9 sin theta ) dtheta
Então, a integral se torna:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi 272 , dtheta = 272 times 2pi = 27pi :