Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes
f(x)= dfracx^2-9x+3, & xneq -3, -5, & x=-3,
e pede (a) o domínio e (b) o esboço do gráfico. O conteúdo envolve domínio de funções racionais, fatoração para simplificar expressão e descontinuidade removível.
Passo 2
Para encontrar o domínio, observamos que a parte tfracx^2-9x+3 só é originalmente válida quando x+3neq 0, ou seja, xneq -3. Como a definição por partes dá um valor para x=-3, fica definido para todo real. Portanto
Dom(f)=R
Passo 3
Para simplificar a expressão quando xneq -3, fatoramos o numerador:
x^2-9=(x+3)(x-3),
de modo que
x^2-9x+3=(x+3)(x-3)x+3=x-3, xneq -3
Logo, fora de x=-3, f(x)=x-3.
Passo 4
No ponto x=-3, a reta y=x-3 daria y=-6, mas a função original está indefinida ali antes da definição por partes, gerando um buraco em (-3,-6). Em seguida a parte f(-3)=-5 insere um ponto isolado em (-3,-5).
Passo 5
Para esboçar o gráfico:
Desenhe a reta y=x-3 para todos os x,
marque um círculo aberto em (-3,-6) (buraco),
marque um ponto fechado em (-3,-5).
Resposta
Domínio: R.
Gráfico: reta y=x-3 com círculo aberto em (-3,-6) e ponto cheio em (-3,-5).