Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolve propriedades do valor absoluto, definição por partes e construção de gráficos de funções seccionadas.
Passo 2
Não há nenhuma operação proibida (raízes de índice par de expressão negativa, divisões por zero etc.). Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Vamos determinar em cada região onde os argumentos dos valores absolutos mudam de sinal, isto é, em e em .
Para : temos e , então
Para : temos e , então
Para : temos e , então
Passo 4
Resumindo, a forma por partes é
Verificamos que em x=-1 e em x=0 a função é contínua, pois limxto -1^-f=-1, f(-1)=|0|-|-1|=-1 e limxto0^-f=1, f(0)=|1|-|0|=1.
Passo 5
Esboço do gráfico:
Para x< -1, f(x)=-1 (reta horizontal).
Em -1<= x<0, f(x)=2x+1 (reta de inclinação 2 passando por (-1,-1) e (0,1)).
Para x>=0, f(x)=1 (reta horizontal).
Em (-1,-1) e em (0,1) colocamos pontos preenchidos, pois a função assume esses valores.
Resposta
Domínio: R
Gráfico: reta horizontal em y=-1 para x<= -1, reta de inclinação 2 ligando (-1,-1) a (0,1), e reta horizontal em y=1 para x>=0.