Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=|x+1|-|x|

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
f(x)=|x+1|-|x|
O conteúdo envolve propriedades do valor absoluto, definição por partes e construção de gráficos de funções seccionadas.

Passo 2

Não há nenhuma operação proibida (raízes de índice par de expressão negativa, divisões por zero etc.). Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(f)=R

Passo 3

Vamos determinar f(x) em cada região onde os argumentos dos valores absolutos mudam de sinal, isto é, em x=-1 e em x=0.
  • Para x< -1: temos x+1<0 e x<0, então f(x)=-(x+1)-(-x)=-x-1+x=-1
  • Para -1<= x<0: temos x+1>=0 e x<0, então f(x)=(x+1)-(-x)=x+1+x=2x+1
  • Para x>=0: temos x+1>=0 e x>=0, então f(x)=(x+1)-x=1

Passo 4

Resumindo, a forma por partes é
f(x)= -1, & x< -1, 2x+1, & -1<= x<0, 1, & x>=0
Verificamos que em x=-1 e em x=0 a função é contínua, pois
limxto -1^-f=-1, f(-1)=|0|-|-1|=-1 e
limxto0^-f=1, f(0)=|1|-|0|=1.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Para x< -1, f(x)=-1 (reta horizontal).
  • Em -1<= x<0, f(x)=2x+1 (reta de inclinação 2 passando por (-1,-1) e (0,1)).
  • Para x>=0, f(x)=1 (reta horizontal).
    Em (-1,-1) e em (0,1) colocamos pontos preenchidos, pois a função assume esses valores.

Resposta

Domínio: R
Gráfico: reta horizontal em y=-1 para x<= -1, reta de inclinação 2 ligando (-1,-1) a (0,1), e reta horizontal em y=1 para x>=0.

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