Calcule os limites:

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função composta envolvendo uma raiz quadrada de uma expressão racional:
limxto2raizx^2+3x+4x^2+1
O conteúdo aqui é o uso de continuidade de funções elementares (polinômios, quociente e raiz) para avaliar limites por substituição direta.

Passo 2

Verificamos primeiro se podemos usar substituição direta: é preciso que o denominador em x=2 seja não nulo e que o radicando seja não negativo. Calculamos
x^2+1l|x=2=2^2+1=5neq0,
x^2+3x+4x^2+1l|x=2=2^2+3cdot2+45=145>0
Logo, a composição de funções é contínua em x=2 e o limite existe por substituição direta.

Passo 3

Aplicando x=2 diretamente na expressão dentro da raiz, obtemos
limxto2raizx^2+3x+4x^2+1 =raiz2^2+3cdot2+42^2+1 =raiz145

Passo 4

Podemos também racionalizar a forma do radical escrevendo
raiz145 =raiz14raiz5 =raiz705

Resposta

raiz145 (que é equivalente a raiz705).

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