Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido são propriedades de valor absoluto, domínio de funções e montagem de curva a partir de definição por trechos. Para resolver, vamos () determinar onde cada módulo muda de sinal, () escrever a função em cada intervalo e () descrever como fica o gráfico.
Passo 2
Como pode assumir qualquer valor real dentro de cada módulo, não há restrição: tanto quanto estão definidos para todo .
Portanto,
Passo 3
Os módulos trocam de expressão quando a parte interna troca de sinal, isto é, em e em . Vamos estudar os três intervalos:
,
,
.
Passo 4
Em cada intervalo, substituímos e :
Simplificando:
f(x)= -2x+2, & x<0, 2, & 0<= x<=2, 2x-2, & x>2 ]
Passo 5
Para esboçar o gráfico basta traçar:
Uma reta de declive -2 até o ponto (0,2).
Um segmento horizontal constante em f(x)=2 entre x=0 e x=2.
Uma reta de declive +2 a partir do ponto (2,2).
O ponto mínimo de f ocorre em qualquer xin[0,2], valendo f(x)=2. À esquerda, f(x)to+infty conforme xto-infty; à direita, f(x)to+infty conforme xto+infty.
Resposta
Domínio:
com reta decrescente até no nível e reta crescente a partir de .