Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=|x|+|x-2|

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
f(x)=|x|+|x-2|
O conteúdo envolvido são propriedades de valor absoluto, domínio de funções e montagem de curva a partir de definição por trechos. Para resolver, vamos ( 1) determinar onde cada módulo muda de sinal, ( 2) escrever a função em cada intervalo e ( 3) descrever como fica o gráfico.

Passo 2

Como x pode assumir qualquer valor real dentro de cada módulo, não há restrição: tanto |x| quanto |x-2| estão definidos para todo xinR.
Portanto,
Domínio de f=R í

Passo 3

Os módulos trocam de expressão quando a parte interna troca de sinal, isto é, em x=0 e em x=2. Vamos estudar os três intervalos:
  • x<0,
  • 0<= x<=2,
  • x>2.

Passo 4

Em cada intervalo, substituímos |x|=pm x e |x-2|=pm(x-2):
f(x)= -,x;+;-,(x-2), & x<0,[6pt] -,x;+;-,(x-2), & 0<= x<=2,[6pt] -,x;+;(x-2), & x>2
Simplificando:
f(x)= -2x+2, & x<0, 2, & 0<= x<=2, 2x-2, & x>2 ]

Passo 5

Para esboçar o gráfico basta traçar:
  • Uma reta de declive -2 até o ponto (0,2).
  • Um segmento horizontal constante em f(x)=2 entre x=0 e x=2.
  • Uma reta de declive +2 a partir do ponto (2,2).
O ponto mínimo de f ocorre em qualquer xin[0,2], valendo f(x)=2. À esquerda, f(x)to+infty conforme xto-infty; à direita, f(x)to+infty conforme xto+infty.

Resposta

Domínio:
com reta decrescente até no nível e reta crescente a partir de .

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