Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=||x|-1||

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
f(x)=l|;|x|-1;r|
O tema aqui é valores absolutos aninhados, que levam a uma função definida por trechos lineares. Vamos usar as propriedades de simetria e de valor absoluto para obter uma definição em partes e depois descrever o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio. Como f só envolve valores absolutos de x, não há restrição:
Domínio(f)=R í

Passo 3

Observar que f é uma função par, pois
f(-x)=l|;|-x|-1r|=l|;|x|-1r|=f(x)
Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Basta estudar x>=0 e refletir para x<0.

Passo 4

Analisar x>=0. Nesse caso |x|=x, logo
f(x)=|,x-1|, x>=0
E por sua vez
|,x-1|= 1 - x, & 0 <= x < 1, x - 1, & x >= 1

Passo 5

Usar a paridade para x<0. Como f(-x)=f(x), basta trocar x por -x na expressão de x>=0. Obtém-se
f(x)=l|;|x|-1r|= -,x - 1, & x <= -1, x + 1, & -1 <= x < 0, 1 - x, & 0 <= x < 1, x - 1, & x >= 1

Passo 6

Identificar os pontos e os segmentos que formam o esboço:
  • Em x=-1 e x=1 temos f=0, mínimos da função.
  • Em x=0 temos f(0)=1, ponto máximo local no intervalo [-1,1].
  • Para x<=-1 a reta é f(x)=-x-1 (declive -1), vai a +infty à esquerda.
  • Para -1<= x<=0 a reta é f(x)=x+1 (declive 1), sobe de (-1,0) a (0,1).
  • Para 0<= x<=1 a reta é f(x)=1-x (declive -1), desce de (0,1) a (1,0).
  • Para x>=1 a reta é f(x)=x-1 (declive 1), vai a +infty à direita.
Assim o gráfico é uma figura em “M”: dois ramos externos que sobem indefinidamente e um pico em (0,1) entre dois vales em (-1,0) e (1,0).

Resposta

Domínio:
com vértices em e , ramos externos de inclinações (à esquerda) e (à direita).

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