Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é a fração
. - Não há outros dados (como valores atribuídos em pontos específicos). Vou usar apenas essa expressão para responder.
Passo 2
Entendendo o que pode impedir um número
de estar no domínio: uma função dada por uma fração
está indefinida sempre que o denominador
for zero. Aqui o denominador é
. Então qualquer
que torne
deve ser excluído do domínio.
Calculemos onde o denominador é zero:
Portanto
não pode pertencer ao domínio. Ainda não concluímos o domínio inteiro porque pode haver outras restrições, mas por enquanto sabemos que precisamos excluir
.
Passo 3
Simplificação algébrica para entender melhor a função (isso ajuda a esboçar o gráfico). Fatore o numerador
usando a diferença de quadrados:
Substituindo na fração:
Para todos os
tais que
(ou seja,
) é possível cancelar o fator comum
, ficando:
Isso significa que, fora de
, a função coincide com a reta
.
Passo 4
Interpretação da simplificação: a cancelamento mostra que
é um ponto de descontinuidade do tipo “removível” (um buraco). A função não está definida em
porque o denominador original era zero, mas o limite quando
existe e é igual ao valor da reta
nesse ponto.
Calculemos esse valor limite (ou seja, o valor que a reta teria em
):
Logo, o gráfico é a reta
com um buraco (ponto removido) no ponto
.
Passo 5
Pontos úteis para desenhar a reta
(lembre-se: desenhar essa reta para todo
exceto em
):
- Para
: , ponto . - Para
: , ponto . - Para
: , ponto . - Para
: , ponto .
Como esboçar passo a passo: desenhe os eixos, trace a reta com inclinação
e intercepto em
, marque uma circunferência vazia (círculo aberto) em
para indicar que ali a função não está definida. Não há assíntotas verticais (além do buraco) nem horizontais — o gráfico é simplesmente uma reta com esse ponto removido.
Passo 6
Resumo sobre continuidade e domínio:
- A função coincide com a função linear
em todos os pontos exceto em . - Em
não está definida; há uma descontinuidade removível cujo valor limite é .
Resposta
Domínio:
Gráfico: reta com um ponto removido (buraco) em
Gráfico: reta