Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1}
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é a fração \dfrac{x^{2}-1}{x+1}.
  • Não há outros dados (como valores atribuídos em pontos específicos). Vou usar apenas essa expressão para responder.

Passo 2

Entendendo o que pode impedir um número x de estar no domínio: uma função dada por uma fração \dfrac{A(x)}{B(x)} está indefinida sempre que o denominador B(x) for zero. Aqui o denominador é (x+1). Então qualquer x que torne x+1=0 deve ser excluído do domínio.
Calculemos onde o denominador é zero:
x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Portanto x=-1 não pode pertencer ao domínio. Ainda não concluímos o domínio inteiro porque pode haver outras restrições, mas por enquanto sabemos que precisamos excluir x=-1.

Passo 3

Simplificação algébrica para entender melhor a função (isso ajuda a esboçar o gráfico). Fatore o numerador x^{2}-1 usando a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na fração:
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}.
Para todos os x tais que x+1\neq0 (ou seja, x\neq-1) é possível cancelar o fator comum x+1, ficando:
f(x)=x-1\qquad\text{para }x\neq-1.
Isso significa que, fora de x=-1, a função coincide com a reta \;y=x-1.

Passo 4

Interpretação da simplificação: a cancelamento mostra que x=-1 é um ponto de descontinuidade do tipo “removível” (um buraco). A função não está definida em x=-1 porque o denominador original era zero, mas o limite quando x\to-1 existe e é igual ao valor da reta x-1 nesse ponto.
Calculemos esse valor limite (ou seja, o valor que a reta teria em x=-1):
\lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}(x-1) = -1-1=-2.
Logo, o gráfico é a reta y=x-1 com um buraco (ponto removido) no ponto (-1,-2).

Passo 5

Pontos úteis para desenhar a reta \;y=x-1 (lembre-se: desenhar essa reta para todo x exceto em x=-1):
  • Para x=0: y=0-1=-1, ponto (0,-1).
  • Para x=1: y=1-1=0, ponto (1,0).
  • Para x=2: y=2-1=1, ponto (2,1).
  • Para x=-2: y=-2-1=-3, ponto (-2,-3).
Como esboçar passo a passo: desenhe os eixos, trace a reta com inclinação 1 e intercepto em (0,-1), marque uma circunferência vazia (círculo aberto) em (-1,-2) para indicar que ali a função não está definida. Não há assíntotas verticais (além do buraco) nem horizontais — o gráfico é simplesmente uma reta com esse ponto removido.

Passo 6

Resumo sobre continuidade e domínio:
  • A função coincide com a função linear \;x-1 em todos os pontos exceto em x=-1.
  • Em x=-1 não está definida; há uma descontinuidade removível cujo valor limite é -2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}=(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)
Gráfico: reta y=x-1 com um ponto removido (buraco) em (-1,-2)

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