Determine o domínio das expressões.
\frac{\sqrt{3} x+1}{2 x-15+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da expressão
\frac{\sqrt{3}\,x+1}{2x-15+x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: \sqrt{3}\,x+1.
  • Denominador (reorganizado): x^{2}+2x-15.
  • A pergunta é apenas: para quais valores de x essa expressão está bem definida? (ou seja, quais x podemos colocar sem obter algo proibido).

Passo 2

Regra importante (explicação didática): para uma expressão racional (fração de polinômios), a única restrição de domínio vem de valores de x que tornam o denominador igual a zero, porque não se pode dividir por zero. O numerador pode ser zero tranquilamente — isso só faz a fração valer zero, não dá problema de definição.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: devemos encontrar os x tais que
x^{2}+2x-15=0.
Esses valores serão excluídos do domínio.

Passo 4

Resolver a equação quadrática por fatoração (método prático quando possível). Procuramos dois números que multiplicam -15 e somam 2. Esses números são 5 e -3. Assim:
x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3).
Portanto as raízes são obtidas ao anular cada fator:
x+5=0 \Rightarrow x=-5, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.

Passo 5

Interpretação: os valores x=-5 e x=3 tornam o denominador zero, logo são proibidos. Verificação do numerador: \sqrt{3}\,x+1 não impõe restrição (pois \sqrt{3} é apenas uma constante); mesmo que o numerador se anule em x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, isso é permitido.

Passo 6

Conclusão final do domínio: todos os reais exceto os dois valores que anulam o denominador. Em notação de conjuntos e em notação de intervalos:
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{-5,3\}=( -\infty,-5)\cup(-5,3)\cup(3,\infty).í

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-5,3\}

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