Determine o domínio das expressões.
\frac{2 x}{16+9 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da expressão \dfrac{2x}{16+9x^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x.
  • Denominador: 16+9x^{2}.
  • Pergunta: para quais valores de x a expressão está bem definida (ou seja, quais x pertencem ao domínio)?

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): uma fração racional como \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} está definida para todos os x tais que o denominador seja diferente de zero. Divisão por zero não é permitida. Portanto, para achar o domínio precisamos encontrar os x que tornam o denominador igual a zero e excluir esses valores; todo o resto fica no domínio.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso denominador: resolvemos a equação
16+9x^{2}=0.
Subtraindo 16 dos dois lados:
9x^{2}=-16.
Agora observe: o termo 9x^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo x\in\mathbb{R}, porque x^{2}\ge0 e 9>0. O lado direito é -16, que é negativo. Não existe número real cujo quadrado multiplicado por 9 seja -16. Portanto a equação não tem solução real.

Passo 4

Como não há nenhum x\in\mathbb{R} que torne 16+9x^{2}=0, não existe valor a ser excluído por causar divisão por zero. Logo a expressão está definida para todos os números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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