Determine o domínio das expressões.
\frac{y-12}{16-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da expressão racional
\frac{y-12}{16-y^{2}}.
Informações fornecidas:
  • Numerador: \,y-12\,.
  • Denominador: \,16-y^{2}\,.
  • A incógnita é y (assume-se y real, salvo indicação contrária).

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Para uma expressão algébrica com fração, o domínio (em \mathbb{R}) é o conjunto de todos os valores reais de y para os quais a expressão está bem definida. Regra importante e simples:
\text{Uma fração está definida} \iff \text{o denominador} \neq 0.çãá
Portanto, devemos encontrar os y que tornam o denominador igual a zero e excluí‑los do domínio.

Passo 3

Encontremos os zeros do denominador resolvendo a equação
16-y^{2}=0.
Passo a passo:
16-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=16.
Para achar y a partir de y^{2}=16, tiramos raiz quadrada (lembrando das duas soluções, positiva e negativa):
y=\pm\sqrt{16}=\pm 4.
Logo, y=4 e y=-4 anulam o denominador.

Passo 4

Uma verificação útil (para ver se alguma dessas raízes pode ser simplificada/cortada com o numerador): fatoramos o denominador usando a identidade diferença de quadrados
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=4 e b=y, ou diretamente a forma padrão,
16-y^{2}=(4-y)(4+y) = -(y-4)(y+4).
O numerador é y-12, que não tem fator comum com (y-4) nem com (y+4). Portanto não há cancelamento: as singularidades em y=\pm 4 permanecem e devem ser excluídas.

Passo 5

Conclusão: todos os números reais são permitidos exceto os que anulam o denominador, isto é y=4 e y=-4. Então o domínio em \mathbb{R} é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\neq -4,\\ y\neq 4\}=\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}

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