Determine o domínio de f em cada caso e valor de f nos pontos indicados:
f(r, s)=\sqrt{1-r}-e^{\frac{r}{s}} ;(1,1) e (0,4).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Calcular o valor de f nos pontos (1,1) e (0,4).
Informações fornecidas:
  • A função é f(r,s)=\sqrt{1-r}-e^{\frac{r}{s}}.
  • Pontos a avaliar: (1,1) e (0,4).

Passo 2

Entendendo o que limita o domínio: a ideia de domínio é o conjunto de pares (r,s) para os quais a expressão que define f faz sentido como número real.
Primeira restrição vem da raiz quadrada \sqrt{1-r}. Para que a raiz quadrada de um número seja um número real, é necessário que o radicando seja não negativo. Portanto devemos ter
1-r \ge 0,
o que é equivalente a
r \le 1.
Explicação curta: \sqrt{x} está definido como número real somente quando x\ge 0. Logo qualquer (r,s) com r>1 é proibido.

Passo 3

Segunda restrição vem do expoente e^{\frac{r}{s}}. A função exponencial e^{t} está definida para todo número real t, então não há problema com e^{(\cdot)} em si. O ponto crítico é a fração \frac{r}{s}: divisão por zero não é permitida em \mathbb{R}. Logo precisamos de
s \neq 0.
Explicação curta: \frac{r}{s} só é um número real bem definido se s não for zero; se s=0 a expressão não existe.

Passo 4

Juntando as duas condições obtidas:
  • r \le 1
  • s \neq 0
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (r,s)\in\mathbb{R}^2 que satisfazem essas duas condições simultaneamente. Em notação:
\text{Dom}(f)=\{(r,s)\in\mathbb{R}^2 \mid r\le 1,\\ s\neq 0\}.
Observação útil para prova: o ponto r=1 é permitido porque \sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0; apenas r>1 é proibido. E qualquer s diferente de zero é aceito.

Passo 5

Agora vamos verificar o ponto (1,1). Substituir r=1 e s=1 respeita as condições do domínio?
  • r=1 satisfaz r\le 1.
  • s=1 satisfaz s\neq 0.
    Logo (1,1) pertence ao domínio. Avaliando f em (1,1):
f(1,1)=\sqrt{1-1}-e^{\frac{1}{1}}=\sqrt{0}-e^{1}=0-e=-e.
Passo a passo: calcular o radicando 1-1=0 então \sqrt{0}=0; calcular a fração \frac{1}{1}=1 então e^{1}=e; subtrair dá -e.

Passo 6

Agora o ponto (0,4). Verificação do domínio:
  • r=0 satisfaz r\le 1.
  • s=4 satisfaz s\neq 0.
    Logo (0,4) pertence ao domínio. Avaliando f em (0,4):
f(0,4)=\sqrt{1-0}-e^{\frac{0}{4}}=\sqrt{1}-e^{0}=1-1=0.
Passo a passo: 1-0=1 e \sqrt{1}=1; \frac{0}{4}=0 e e^{0}=1; subtraindo obtemos 0.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(r,s)\in\mathbb{R}^2 \mid r\le 1,\\ s\neq 0\}
f(1,1)=-e
f(0,4)=0

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