Represente no plano xy ou no sistema de coordenadas tridimensional xyz, o domínio das funções:
g(x, y, z)=√16−x2−y2−z2
g(x, y, z)=√16−x2−y2−z2
Passo 1
O enunciado pede para representar o domínio da função
Vamos primeiro deixar claro o que se pede: o “domínio” é o conjunto de pontos
para os quais a expressão que define
está bem definida como número real. Listei as informações relevantes dadas:
- A função depende de três variáveis:
, e . - Há uma raiz quadrada
, o que impõe uma restrição no radicando.
Não iniciamos a resolução ainda; só identificamos o pedido e os dados.
Passo 2
Regra importante sobre raiz quadrada real: a raiz quadrada
está definida como número real somente se o radicando
for maior ou igual a zero. Ou seja, para que
seja real devemos ter
Agora transformamos essa desigualdade em uma forma mais familiar. Subtraindo
dos dois lados e multiplicando por
(lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade), obtemos
Passo 3
Interpretação geométrica da desigualdade
:
- A equação
é a superfície de uma esfera centrada na origem
com raio
(porque
).
- A desigualdade com sinal
significa que estamos incluindo todos os pontos dentro dessa esfera e também a superfície. Em palavras: o domínio é a bola sólida (fechada) de raio centrada na origem.
Passo 4
Para visualizar de formas úteis na prova:
- No sistema de coordenadas tridimensional
: o domínio é a bola sólida fechada de raio centrada em . Esboço mental: desenhe uma esfera de raio e sombreie o interior. - No plano
(projeção): o conjunto de projeção dos pontos do domínio no plano é o disco
pois para qualquer
com
é possível escolher
e obter um ponto do domínio.
- Fatias horizontais (seções para
fixo): para cada valor fixo de com , a interseção do domínio com o plano é o disco
Exemplos numéricos:
- Para
: disco de raio . - Para
: disco de raio . - Para
: disco degenerado de raio (apenas o ponto ). - Para
: não há pontos (o conjunto é vazio para esses ).
Passo 5
Resumo didático e dica para desenhar rápido numa prova:
- Faça primeiro a condição algébrica:
. - Identifique: é uma bola sólida de raio
. - Se pedir desenho no papel: desenhe uma esfera e sombreie o interior; marque que a superfície também pertence ao domínio (raiz pode ser zero na superfície).
Força aí — essa identificação é padrão e rápida de fazer na prova.