Represente no plano xy ou no sistema de coordenadas tridimensional xyz, o domínio das funções:
g(x, y, z)=√16−x2−y2−z2

Passo 1

O enunciado pede para representar o domínio da função
g(x,y,z)=\sqrt{16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}.
Vamos primeiro deixar claro o que se pede: o “domínio” é o conjunto de pontos (x,y,z) para os quais a expressão que define g está bem definida como número real. Listei as informações relevantes dadas:
  • A função depende de três variáveis: x, y e z.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}, o que impõe uma restrição no radicando.
    Não iniciamos a resolução ainda; só identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Regra importante sobre raiz quadrada real: a raiz quadrada \sqrt{A} está definida como número real somente se o radicando A for maior ou igual a zero. Ou seja, para que g(x,y,z) seja real devemos ter
16 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0.
Agora transformamos essa desigualdade em uma forma mais familiar. Subtraindo 16 dos dois lados e multiplicando por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade), obtemos
x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 16.

Passo 3

Interpretação geométrica da desigualdade \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le16\;:
  • A equação
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16
é a superfície de uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio 4 (porque 4^{2}=16).
  • A desigualdade com sinal \le significa que estamos incluindo todos os pontos dentro dessa esfera e também a superfície. Em palavras: o domínio é a bola sólida (fechada) de raio 4 centrada na origem.

Passo 4

Para visualizar de formas úteis na prova:
  • No sistema de coordenadas tridimensional (x,y,z): o domínio é a bola sólida fechada de raio 4 centrada em (0,0,0). Esboço mental: desenhe uma esfera de raio 4 e sombreie o interior.
  • No plano xy (projeção): o conjunto de projeção dos pontos do domínio no plano xy é o disco
x^{2} + y^{2} \le 16,
pois para qualquer (x,y) com x^{2}+y^{2}\le16 é possível escolher z=0 e obter um ponto do domínio.
  • Fatias horizontais (seções para z fixo): para cada valor fixo de z com |z|\le4, a interseção do domínio com o plano z=\text{constante} é o disco
x^{2} + y^{2} \le 16 - z^{2}.
Exemplos numéricos:
  • Para z=0: disco de raio \sqrt{16}=4.
  • Para z=3: disco de raio \sqrt{16-9}=\sqrt{7}.
  • Para z=4: disco degenerado de raio 0 (apenas o ponto (0,0,4)).
  • Para |z|>4: não há pontos (o conjunto é vazio para esses z).

Passo 5

Resumo didático e dica para desenhar rápido numa prova:
  • Faça primeiro a condição algébrica: 16-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\le16.
  • Identifique: é uma bola sólida de raio 4.
  • Se pedir desenho no papel: desenhe uma esfera e sombreie o interior; marque que a superfície também pertence ao domínio (raiz pode ser zero na superfície).
    Força aí — essa identificação é padrão e rápida de fazer na prova.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le16\} (bola sólida fechada de raio 4 centrada na origem)

Exercícios relacionados