Determine se a sequência
é convergente.
Sugestão: Use o teorema de L’Hospital para calcular o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência é convergente (isto é, se existe
e qual é esse valor).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula geral da sequência é
. - O índice
tende para infinito quando buscamos o limite da sequência.
Passo 2
Transformar o problema de sequências em um problema de limite de função facilita o uso de ferramentas de cálculo. Considere a função
definida por
Se
então, em particular,
, porque a sequência
tende a
. Assim, para calcular
basta calcular
.
Passo 3
Avaliar a forma do limite quando
:
- O numerador
tende para . - O denominador
também tende para .
Portanto temos uma forma indeterminada do tipo, o que permite aplicar o Teorema de L’Hospital (desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas).
Passo 4
Lembrando o Teorema de L’Hospital (versão para o infinito): se
e
são funções diferenciáveis numa semi-reta
,
para
grande, e
(ou ambos
), então
quando o limite à direita existir (ou for
).
No nosso caso podemos tomar e
. Ambas são diferenciáveis em
, e
,
quando
. Logo as hipóteses estão satisfeitas.
No nosso caso podemos tomar
Passo 5
Aplicando L’Hospital:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Avaliar o limite
. Como
quando
, a fração
tende a
. Logo
Passo 7
Juntando os passos anteriores, obtemos
e então, pelo argumento do Passo 2,
Resposta
A sequência converge e
.