(1,5) Determine se a sequência x_{n}=\frac{n}{e^{n}} é convergente.
Sugestão: Use o teorema de L’Hospital para calcular o limite.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n}=\dfrac{n}{e^{n}} e pede para determinar se essa sequência é convergente (isto é, se existe \lim_{n\to\infty} x_n e qual é esse valor).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula geral da sequência é x_{n}=\dfrac{n}{e^{n}}.
  • O índice n tende para infinito quando buscamos o limite da sequência.

Passo 2

Transformar o problema de sequências em um problema de limite de função facilita o uso de ferramentas de cálculo. Considere a função f definida por
f(x)=\frac{x}{e^{x}},\qquad x>0.
Se \lim_{x\to\infty} f(x)=L então, em particular, \lim_{n\to\infty} f(n)=L, porque a sequência (n)_{n\in\mathbb{N}} tende a +\infty. Assim, para calcular \lim_{n\to\infty} x_n basta calcular \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^{x}}.

Passo 3

Avaliar a forma do limite quando x\to\infty:
  • O numerador x tende para +\infty.
  • O denominador e^{x} também tende para +\infty.
    Portanto temos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, o que permite aplicar o Teorema de L’Hospital (desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas).

Passo 4

Lembrando o Teorema de L’Hospital (versão para o infinito): se g e h são funções diferenciáveis numa semi-reta (a,\infty), h'(x)\neq0 para x grande, e \lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty (ou ambos 0), então
\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{g'(x)}{h'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty).
No nosso caso podemos tomar g(x)=x e h(x)=e^{x}. Ambas são diferenciáveis em (0,\infty), e g(x)\to\infty, h(x)\to\infty quando x\to\infty. Logo as hipóteses estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicando L’Hospital:
  • g'(x)=1.
  • h'(x)=e^{x}.
    Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}.

Passo 6

Avaliar o limite \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{e^{x}}. Como e^{x}\to\infty quando x\to\infty, a fração \dfrac{1}{e^{x}} tende a 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}=0.

Passo 7

Juntando os passos anteriores, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=0,
e então, pelo argumento do Passo 2,
\lim_{n\to\infty}x_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^{n}}=0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.

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