Esboce as superfícies de níveis associadas às funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível da função
para os valores
.
Informações dadas:
- A função é
. - Devem ser desenhadas as superfícies de nível definidas por
para , e .
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática)?
- Para uma função
, a superfície de nível para o valor é o conjunto de pontos tais que . - Em palavras: fixamos o valor da função e olhamos todos os pontos no espaço que produzem esse valor — isso gera uma superfície (ou conjunto) em
.
Vou aplicar essa definição diretamente ao caso dado: substituir
pela igualdade com
.
Passo 3
Escrever a equação das superfícies de nível.
- Substituindo temos, para cada
,
- Cada uma dessas equações é a equação de um plano no espaço. Logo, as superfícies de nível são planos.
Explicando por que são planos (didático):
- Uma equação linear em
da forma representa um plano. Aqui , , e . - O vetor normal ao plano é
. Esse vetor é perpendicular a qualquer direção que fique dentro do plano.
Passo 4
Como esboçar cada plano na prática — usando interceptos (passo a passo):
- Uma forma simples de desenhar um plano é encontrar as interseções com os eixos coordenados (três pontos não colineares determinam um plano).
- Se
e então . Logo o intercepto com o eixo é o ponto . - Se
e então ou . Então o intercepto com o eixo é . - Se
e então ou . Então o intercepto com o eixo é .
Agora os interceptos numéricos para cada
:
-
Para
: - intercepto em
: - intercepto em
: - intercepto em
:
- intercepto em
-
Para
: - intercepto em
: - intercepto em
: - intercepto em
:
- intercepto em
-
Para
: - intercepto em
: - intercepto em
: - intercepto em
:
- intercepto em
Com esses três pontos para cada plano, basta ligar os pontos para formar um triângulo indicativo do plano no esboço (em perspectiva), lembrando que o plano se estende infinitamente além do triângulo.
Passo 5
Mostre que os planos são paralelos e calcule distâncias (matéria útil para o esboço)
-
Todos os planos têm a mesma normal
, logo são planos paralelos (mesma orientação, deslocados). -
Distância entre dois planos paralelos:
- Para planos
e a distância entre eles é
- Justificativa rápida: a menor distância entre planos paralelos é ao longo da direção normal; projetando a diferença de termos constantes sobre o versor normal obtém-se essa fórmula.
- Para planos
-
Aplicando com
, , temos .
Distâncias numéricas:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Esses valores dizem o quanto cada plano está deslocado ao longo da normal — útil para posicionar as três folhas no desenho.
Passo 6
Instruções práticas para o esboço (passo a passo, como fazer na prova):
- Desenhe os eixos
, , em perspectiva (por exemplo: para a direita, para cima/para fora, para cima/diagonal). - Marque os interceptos de cada plano no eixo
, e usando os pontos calculados no Passo 4. - Para cada valor de
, conecte os três interceptos formando um pequeno triângulo — isso representa o plano naquele local. - Desenhe todos os triângulos com a mesma orientação (porque as normais são iguais), apenas deslocados de acordo com as distâncias do Passo 5; isso mostra que os planos são paralelos.
- Opcional: desenhe uma seta indicando a direção do vetor normal
para lembrar a orientação.
Dica de visualização: o plano correspondente a
passa pela origem; os planos com
ficam “do lado” em que
aponta, e com
ficam do lado oposto.