Esboce as superfícies de níveis associadas às funções:
f(x, y, z)=x+2 y+3 z ; c=-1,3,6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x+2y+3z para os valores c=-1,\;3,\;6.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=x+2y+3z.
  • Devem ser desenhadas as superfícies de nível definidas por f(x,y,z)=c para c=-1, c=3 e c=6.

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática)?
  • Para uma função f(x,y,z), a superfície de nível para o valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que \,f(x,y,z)=c.
  • Em palavras: fixamos o valor da função e olhamos todos os pontos no espaço que produzem esse valor — isso gera uma superfície (ou conjunto) em \mathbb{R}^3.
Vou aplicar essa definição diretamente ao caso dado: substituir f(x,y,z)=x+2y+3z pela igualdade com c.

Passo 3

Escrever a equação das superfícies de nível.
  • Substituindo temos, para cada c,
x+2y+3z=c.
  • Cada uma dessas equações é a equação de um plano no espaço. Logo, as superfícies de nível são planos.
Explicando por que são planos (didático):
  • Uma equação linear em x,y,z da forma ax+by+cz=d representa um plano. Aqui a=1, b=2, c=3 e d=c.
  • O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(1,2,3). Esse vetor é perpendicular a qualquer direção que fique dentro do plano.

Passo 4

Como esboçar cada plano na prática — usando interceptos (passo a passo):
  • Uma forma simples de desenhar um plano é encontrar as interseções com os eixos coordenados (três pontos não colineares determinam um plano).
  • Se y=0 e z=0 então x=c. Logo o intercepto com o eixo x é o ponto (c,0,0).
  • Se x=0 e z=0 então 2y=c ou y=\dfrac{c}{2}. Então o intercepto com o eixo y é \left(0,\dfrac{c}{2},0\right).
  • Se x=0 e y=0 então 3z=c ou z=\dfrac{c}{3}. Então o intercepto com o eixo z é \left(0,0,\dfrac{c}{3}\right).
Agora os interceptos numéricos para cada c:
  • Para c=-1:
    • intercepto em x: (-1,0,0)
    • intercepto em y: \left(0,-\dfrac{1}{2},0\right)
    • intercepto em z: \left(0,0,-\dfrac{1}{3}\right)
  • Para c=3:
    • intercepto em x: (3,0,0)
    • intercepto em y: \left(0,\dfrac{3}{2},0\right)
    • intercepto em z: \left(0,0,1\right)
  • Para c=6:
    • intercepto em x: (6,0,0)
    • intercepto em y: \left(0,3,0\right)
    • intercepto em z: \left(0,0,2\right)
Com esses três pontos para cada plano, basta ligar os pontos para formar um triângulo indicativo do plano no esboço (em perspectiva), lembrando que o plano se estende infinitamente além do triângulo.

Passo 5

Mostre que os planos são paralelos e calcule distâncias (matéria útil para o esboço)
  • Todos os planos têm a mesma normal \mathbf{n}=(1,2,3), logo são planos paralelos (mesma orientação, deslocados).
  • Distância entre dois planos paralelos:
    • Para planos ax+by+cz=d_1 e ax+by+cz=d_2 a distância entre eles é
    \text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
    • Justificativa rápida: a menor distância entre planos paralelos é ao longo da direção normal; projetando a diferença de termos constantes sobre o versor normal obtém-se essa fórmula.
  • Aplicando com a=1, b=2, c=3 temos \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Distâncias numéricas:
  • Entre c=-1 e c=3:
\text{dist}=\frac{|3-(-1)|}{\sqrt{14}}=\frac{4}{\sqrt{14}}.
  • Entre c=3 e c=6:
\text{dist}=\frac{|6-3|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}.
  • Entre c=-1 e c=6:
\text{dist}=\frac{|6-(-1)|}{\sqrt{14}}=\frac{7}{\sqrt{14}}.
Esses valores dizem o quanto cada plano está deslocado ao longo da normal — útil para posicionar as três folhas no desenho.

Passo 6

Instruções práticas para o esboço (passo a passo, como fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos x, y, z em perspectiva (por exemplo: x para a direita, y para cima/para fora, z para cima/diagonal).
  2. Marque os interceptos de cada plano no eixo x, y e z usando os pontos calculados no Passo 4.
  3. Para cada valor de c, conecte os três interceptos formando um pequeno triângulo — isso representa o plano naquele local.
  4. Desenhe todos os triângulos com a mesma orientação (porque as normais são iguais), apenas deslocados de acordo com as distâncias do Passo 5; isso mostra que os planos são paralelos.
  5. Opcional: desenhe uma seta indicando a direção do vetor normal \mathbf{n}=(1,2,3) para lembrar a orientação.
Dica de visualização: o plano correspondente a c=0 passa pela origem; os planos com c>0 ficam “do lado” em que \mathbf{n} aponta, e com c<0 ficam do lado oposto.

Resposta

x+2y+3z=-1
x+2y+3z=3
x+2y+3z=6

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